2025.5.9 NOI 模拟赛 题解

比赛

T1 NFLS #P5201. 比赛题目背景

题意

令 \(a_1=1,a_i=a_{i-1}+\text{maxdig}(a_{i-1})\)，其中 \(\text{maxdig}(x)\) 表示十进制下 \(x\) 最大的一位数字，给定一棵 \(n\) 点的数，每个点有点权 \(a_i\in [0,9]\)，定义 \(\text{dfs}\) 序为每个结点从小到大便利儿子得到的，求出有多少包含根的连通块满足将连通块内点的 \(a_i\) 按 \(\text{dfs}\) 序排列起来得到的十进制数在 \(a\) 中出现过，\(n\le500\)

分析

令 \(f_{i,j,k}\;(1\le i\le n,0\le j,k\le 9)\) 表示 \(T\times 10^{i+1}+k\;(\text{maxdig}(T)=j)\) 经过若干次 \(x\gets x+\text{maxdig}(x)\) 的变换后第一次不小于 \((T+1)\times 10^{i+1}\) 时个位的值，\(g_{i,j,k,l}\;(1\le i\le n,0\le j,k,l\le 9)\) 表示第一次不小于 \(T\times 10^{i+1}+l\times 10^i\) 时个位的值，两者容易 \(O(n\times 10^3)\) 求出

对于一组数据，先求出树的 \(\text{dfs}\) 序，以下用 \((i)\) 表示 \(\text{dfs}\) 序为 \(i\) 的点

令 \(dp_{i,j,k,l}\) 表示点 \((1)\sim (i)\) 组成最终值的第 \(j\) 位及以上的部分，这些位最大值为 \(k\)，此时个位为 \(l\) 的方案数

若忽略子树 \((i)\)，则转移为

\[dp_{i+sz_{(i)}-1,j,k,l}\gets dp_{i-1,j,k,l}\;(i\ne 1) \]

否则转移为

\[dp_{i,j-1,\max(k,a_{(i)}),g_{j-1,k,l,a_{(i)}}}\gets dp_{i-1,j,k,l} \]

时间复杂度 \(O(n^2\times 10^2)\)

总时间复杂度 \(O(nw^3+\sum n^2w^2)\)，其中 \(w=10\)

代码

参考

T2 NFLS #P12665. 先人祭

题意

给定一张 \(n\) 个点的无向点仙人掌森林，存在两种操作：操作一为选出一个度数为奇数的点，删除所有以它为一端的边；操作二为新增 \(n+1\sim 2n\) 这 \(n\) 个点，对于所有 \(1\le i\le n\) 连接 \(i\) 和 \(i+n\)，对于原图的 \((u,v)\) 在新图中连接 \(u+n\) 和 \(v+n\)。只能进行一次操作二，操作一无限制，求最终得到的图的边的最小值，并给出具体操作方案，\(n\le3\times10^5,m\le4.5\times10^5\)

分析

实际上剩余边数可以取到 \(0\)，以下通过构造证明

先尽量操作度数为奇数的点，这一步容易 \(O(m\log n)\) 实现

显然此时需要进行一次操作二

剩余的点度数都是偶数，特判孤点，剩余每个连通块都是若干环的并，显然连通块之间独立

对于一个连通块，每个环建立一个点，若两个环有公共点则对应的点之间连边（即建立圆方树后忽略原点），得到一棵树，任意选择一点为根，考虑每次删去一个叶子

要使剩余部分仍然保持结构，设环上的点依次为 \(p_{1\sim k}\)（按照 \(\text{Tarjan}\) 弹栈的顺序依次连边，则环上的点按顺序排列，不需要额外操作），其中 \(p_1\) 连向当前环的父亲，则需要删去如下的结构（令 \(p'\) 表示点 \(p+n\)）：

\[\begin{matrix} (p_k)&-&\red {p_1}&-&p_2&-&p_3&-&\cdots&-&p_k\\ |&&&&|&&|&&&&|\\ (p'_k)&-&\red {p'_1}&-&p'_2&-&p'_3&-&\cdots&-&p'_k \end{matrix} \]

其中标为红色的点不能操作，要操作剩余的点以删去所有边

若 \(k\) 为奇数，则依次操作：\(p_1,p'_2,\cdots,p'_k,p_k,p'_1\)

若 \(k\) 为偶数，则依次操作：\(p_1,p'_2,\cdots,p_k,p'_k,p'_1\)

然后考虑根，即只有一个环的情况，此时需要删去如下结构：

\[\begin{matrix} (p_k)&-&p_1&-&p_2&-&p_3&-&\cdots&-&p_k\\ |&&|&&|&&|&&&&|\\ (p'_k)&-&p'_1&-&p'_2&-&p'_3&-&\cdots&-&p'_k \end{matrix} \]

构造方式类似

总时间复杂度 \(O(m\log m)\)

代码

参考

T3 NFLS #18277. 码农的生活

比赛结果

\(10+10+42\)，\(\text{rk}44\)