做题记录 25.5.5

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1866M Mighty Rock Tower

令 \(f_i\) 为 \(i-1\) 变为 \(i\) 的期望步数，令 \(P_x=\frac{p_x}{100}\)，转移显然为

\[f_x=1+\sum_{i=1}^x P_x^{x-i}(1-P_x)\sum_{j=i+1}^x f_j+P_x^x\sum_{j=1}^x f_j \]

化简得

\[f_x=\frac{1+P_x^x\sum_{i=0}^{x-2}f_{i+1}P_x^{-i}}{1-P_x} \]

发现 \(P_x\) 只有 \(100\) 种，因此令 \(s_{x,p}=\sum_{i=0}^{x-2}f_{i+1}(\frac{p}{100})^{-i}\)，在计算 \(f\) 的同时递推维护 \(s\) 即可

时间复杂度 \(O(nw)\)，其中 \(w=100\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1866L Lihmuf Balling

令 \(M(x)=(x-1)\bmod n+1\)

对于一个 \(k\)，其总球数为

\[\sum_{i=1}^n [\forall 1\le j<i(M(jk)\ne M(ik))][\forall 1\le j\le i(j\ne M(ik))]M(ik) \]

前一个条件等价于 \(i\le \frac n{\gcd(n,k)}\)，后一个条件等价于 \(M(ik)>i\)

因此总球数为

\[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{\frac n{\gcd(n,k)}}[M(ik)>i]M(ik)\\ =&\sum_{v=1}^{\frac k{\gcd(k,n)}}\sum_{i=1}^{\frac n{\gcd(n,k)}}[ik\in((v-1)n,vn]][M(ik)>i]M(ik)\\ =&\sum_{v=1}^{\frac k{\gcd(k,n)}}\sum_{i=\left\lfloor\frac{(v-1)n}k\right\rfloor+1}^{\lfloor\frac{vn}k\rfloor}[ik-(v-1)n>i](ik-(v-1)n)\\ =&\sum_{v=1}^{\frac k{\gcd(k,n)}}\sum_{i=\left\lfloor\frac{(v-1)n}k\right\rfloor+1}^{\lfloor\frac{vn}k\rfloor}\left[i\ge \left\lceil\frac{(v-1)n+1}{k-1}\right\rceil\right](ik-(v-1)n)\\ =&\sum_{v=1}^{\frac k{\gcd(k,n)}}\sum_{i=\max\left(\left\lfloor\frac{(v-1)n}k\right\rfloor+1,\left\lceil\frac{(v-1)n+1}{k-1}\right\rceil\right)}^{\lfloor\frac{vn}k\rfloor}(ik-(v-1)n)\\ \end{aligned} \]

当 \(i\) 为一个区间时 \((ik-(v-1)n)\) 为等差数列，因此对于一个 \(v\) 可以 \(O(1)\) 求出后面的和式

总时间复杂度 \(O(\sum_{k=1}^m \frac k{\gcd(k,n)})=O(m^2)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1866K Keen Tree Calculation

特判询问的结点为叶子的情况，非叶子则挂到对应结点上，转化为对于每个点，存在若干 \((k,d)\)，对于该点上的每个询问 \(x\) 需要找出 \(kx+d\) 的最大值和次大值

先李超树求出最大值的二元组下标，则次大值就是在剩余的前缀和后缀中的最大值，然后从前往后和从后往前分别扫描一遍即可

时间复杂度 \(O(n\log V)\)，实现精细可以到 \(O(n\log n)\)，若用求凸包的做法则可以到 \(O(n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1867F Most Different Tree

定义一棵树出现过当且仅当存在树 \(G\) 的一个子树与之同构

定义一棵树被另一棵树包含当且仅当后者某一子树等于前者

若一棵树没有出现过，则所有包含它的树都没有出现过

考虑找到一棵最小的没有出现过的树，编号后将剩余的点依次作为它的祖先（即它们连成一条链，链底为这棵数的根），显然这样最优

特判 \(n=2\) 的情况

暴力找出前 \(n+1\) 小的本质不同的无标号有根树，这一步暴力搜索即可

总时间复杂度 \(O(nf^{-1}(n))\)，其中 \(f(x)\) 表示 \(x\) 个点的无标号有根树数量

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1866J Jackets and Packets

先把极大同色连续段缩起来，设缩为 \(m\) 段，第 \(i\) 段值为 \(a_i\)，长度为 \(ln_i\)

令 \(dp_{l,r}\) 表示删除 \(l\sim r\) 段的最小代价

一种可能是 \(dp_{l,r}\gets x+dp_{l+1,r}\)

另一种可能是选择 \(p_{1\sim t}\) 满足

• \(l=p_1<p_2<\cdots <p_t\le r\)
• \(a_{p_1}=a_{p_2}=\cdots=a_{p_t}=a_l\)

把第 \(p_1\) 段移到第二个栈中，消除 \((p_1,p_2)\)，把第 \(p_2\) 段移到第二个栈中，消除 \((p_2,p_3)\)，以此类推，消除 \((p_{t-1},p_t)\)，最后 \(p_t\) 有两种选择，移到第二个栈中，或把前面 \(t-1\) 段都移回来

前者代价为 \(y\sum_{i=1}^t ln_{p_i}+\sum_{i=2}^t dp_{p_{i-1}+1,p_i-1}+x\)，后者代价为 \(2y\sum_{i=1}^{t-1}+\sum_{i=2}^t dp_{p_{i-1}+1,p_i-1}+x\)

令 \(one_{l,r}\) 为在区间中选择若干位置 \(p_{1\sim t}\)，\(l,r\) 必选，\(y\sum_{i=1}^t ln_{p_i}+\sum_{i=2}^t dp_{p_{i-1}+1,p_i-1}\) 的最小值，若 \(a_l\ne a_r\) 则值为 \(\infty\)

令 \(two_{l,r}\) 为在区间中选择若干位置 \(p_{1\sim t}\)，\(l,r\) 必选，\(2y\sum_{i=1}^t ln_{p_i}+\sum_{i=2}^t dp_{p_{i-1}+1,p_i-1}\) 的最小值，若 \(a_l\ne a_r\) 则值为 \(\infty\)

则 \(dp\) 的第二种转移为

\[dp_{l,r}\gets \min(one_{l,p},two_{l,p}-2y \cdot ln_r)+x+dp_{p+1,r} \quad\text{if}~l\le p\le r,a_p=a_l \]

显然最优情况下只有这两类操作

\(one\) 和 \(two\) 的转移、\(dp\) 的边界情况是容易的

时间复杂度 \(O(n^3)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1866I Imagination Castle

暴力 \(dp\) 为令 \(f_{i,j}\) 表示 \((i,j)\) 处是否先手必胜，则对于特殊点 \((x,y)\) 令 \(f_{x,y}=0\)，且 \(f_{n,m}=0\)，转移为 $f_{i,j}=(\lor_{k=i+1}^n \lnot f_{k,j})\lor (\lor_{k=j+1}^m \lnot f_{i,k}) $，要求出 \(f_{1,1}\)

若第一行存在特殊点显然 \(f_{1,1}=1\)

显然 \(f\) 一行和一列中至多只有一个 \(0\)（除非有多个特殊点）

从第 \(n\) 行向前扫描，令 \(ls\) 为目前为止最后一个 非特殊点且 \(f\) 值为 \(0\) 的 列，令 \(md_i\) 表示当前行及之后的行中除特殊点外第 \(i\) 列的 \(f\) 是否必然为 \(1\)，初始 \(ls=m,md_i=0\)

显然 \(ls\) 是不增的（忽略不存在 \(ls\) 的行），否则设当前的 \(ls\) 为 \(x\)，则它之前第一次 \(ls\) 小于 \(x\) 时，将那时的 \(ls\) 换为 \(x\) 一定更优且合法

到新的一行时，设当前行中特殊点位置分别在 \(p_{1\sim t}\)

减少 \(ls\) 直到 \(md_{ls}=0\)，因为 \(md_{ls}=1\) 时当前位置的 \(f\) 一定为 \(1\)

若此时 \(ls=0\)，则之后的 \(f\) 除了特殊点外都是 \(1\)，可直接得出 \(f_{1,1}=1\)

否则对于所有 \(p_i\)，令 \(md_{p_i}\gets 1\)

若 \(\max p_t\ge ls\)，则当前行中 \(ls\) 及其左侧的 \(f\) 必然都是 \(1\)，否则 \(ls\) 位置的 \(f=0\)，令 \(md_{ls}\gets 0\)

若最终 \(ls=1\) 则 \(f_{1,1}=0\)，否则 \(f_{1,1}=1\)

时间复杂度 \(O(n+m+k)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1866E Elevators of Tamem

令 \(dp_{i,j,k}\) 表示三者分别到达第 \(i,j,k\) 个询问的位置时的最小代价

从 \(dp_{i,j,k}\) 转移到 \(dp_{l,j,k}\) 时，移动的单价要按 \([i,l]\) 内第一部的最小单价计算，若不可用则单价为 \(\infty\)，其他转移同理

时间复杂度 \(O(q^3)\)

代码

参考