做题记录 25.5.4

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1874C Jellyfish and EVA

令 \(f_i\) 表示 \(i\) 能到达 \(n\) 的概率

从 \(u\) 开始，设 \(u\) 直接连向的点集为 \(S\)，则最优策略为按 \(f_u\) 从大到小选择 \(S\) 中的 \(u\)，证明

令 \(g_{d,i}\) 表示一个出度为 \(d\) 的点最终选择了 \(f\) 值第 \(j\) 大的出边的概率

设 \(u\) 的出边按 \(f\) 从大到小排序后为 \(p_{1\sim d_u}\)，则 \(f\) 的转移为

\[f_u=\sum_{i=1}^{d_u} f_{p_i} g_{d_u,i} \]

\(g\) 的转移为

\[g_{d,1}=\frac1d\\ g_{d,i}=g_{d-2,i-2}\times \frac{i-2}d+g_{d-2,i-1}\times \frac{d-i}d \]

总时间复杂度 \(O(\max n^2 +\sum m\log n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1874B Jellyfish and Math

位运算每一位相互独立，当 \((a_i,b_i,m_i)\) 相同时 \((c_i,d_i)\) 必须相同，否则无解

这样限制可以表示为八维五进制数，从低到高分别表示 \((a_i,b_i,m_i)=(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),\cdots,(1,1,1)\) 时对应的 \((c_i,d_i)\) 为 \((0,0)\) / \((0,1)\) / \((1,0)\) / \((1,1)\) / 无限制

因此预处理 \((a,b,m)=(11110000,11001100,10101010)\) 的转移即可，时间复杂度 \(O(2^{16}\times8+5^8\times8+t\log V)\)

代码

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\(\textcolor{blue}\odot\) CF1870E Another MEX Problem

令 \(dp_{i,j}\) 表示 \([1,i]\) 能否令异或和为 \(j\)，显然暴力实现为 \(O(n^3)\)

转移时仅考虑极小区间（不存在严格子区间使得其 \(\text{mex}\) 等于原区间的区间称为极小的）

定理：极小区间的数量为 \(O(n)\) 的

证明：

• 对于一个极小区间 \([l,r]\)，若 \(l\ne r\)，则 \(a_l\ne a_r\)，否则去掉 \(a_l\) 或 \(a_r\) 一定不改变 \(\text{mex}\)
• \(l=r\) 时显然数量不超过 \(n\)，因此以下考虑 \(l<r,a_l>a_r\) 的情况，显然与 \(l<r,a_l<a_r\) 的情况总数在同一量级
• 显然 \(\text{mex}(a_{l\sim r})>a_l\)，否则必有 \(\text{mex}(a_{l\sim r})<l\)，\(a_l\) 可去掉，一定不是极小的
• 假定存在 \(R>r\) 使得 \(a_l>a_R\) 且 \([l,R]\) 为极小的，由于 \(a_R<a_l<\text{mex}(a_{l\sim r})\)，因此 \(a_R\in\{a_{l\sim r}\}\)，即 \(a_R\) 可以去除，一定不是极小的
• 即一个 \(l\) 至多对应一个 \(r\) 满足条件
• 这样极小区间数量不超过 \(3n\)

时间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1868C Travel Plan

令 \(F(x)\) 为所有完全二叉树中，路径上点权最大值 \(\le x\) 的数量的总和，则答案为 \(mF(m)-\sum_{i=1}^{m-1}F(i)\)

令 \(p_n=m^n\)，\(f_n\) 为所有 \(n\) 个点的完全二叉树中路径上点权最大值 \(\le x\) 的数量的总和，\(g_n\) 为所有 \(n\) 个点的完全二叉树中路径上点权最大值 \(\le x\) 且一端为根的数量的总和

则 \(p_0=1,f_0=g_0=0\)，若 \(n\ge 1\)，设两子树大小分别为 \(L,R\)，则转移为

\[p_n=mp_Lp_R\\ g_n=x(p_Lg_R+g_Lp_R+p_Lp_R)\\ f_n=mf_Lp_R+mp_Lf_R+g_n+xg_Lg_R\\ \]

记忆化搜索可做到 \(O(\sum m\log n)\)

代码

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