2025.4.29 NOI 模拟赛 题解

比赛

T1 NFLS #P13045. 智慧树 \(\quad\) gym 103447C. Colorful Tree

题意

给定一棵树，初始每个叶子都没有染色，每次操作可以选择一棵子树将其中的叶子都染成同一种颜色，求将每个叶子 \(i\) 染成给定的颜色 \(a_i\) 的最少操作次数，\(n\le2\times10^6,1\le a_i\le n\)

分析

令 \(f_{i,j}\) 表示子树 \(i\) 之上进行一次染为 \(j\) 的操作，要将子树 \(i\) 内所有叶子染为给定颜色的最少操作次数，令 \(g_i\) 表示子树 \(i\) 之上没有进行染色时的答案

则

\[f_{i,a_i}=0,f_{i,\ast}=1,g_{i}=1\\ f_{u,x}\gets \sum_{v\in son(u)}f_{v,x}\\ g_u\gets \min(g_u,f_{u,\ast}+1)\\ f_{u,\ast}\gets \min(f_{u,\ast},g_u)\\ \]

暴力实现为 \(O(n^2)\) 的

令 \(mn_x=g_x-1\)，则 \(f_{x,\ast}\in\{mn_x,mn_x+1\}\)

对于每个 \(x\) 将所有 \(f_{x,t}=mn_x\) 的 \(t\) 保存在集合 \(S_x\) 中

对于叶子结点，\(mn_x=0,S_x=\{a_x\}\)

令 \(u\) 为一个非叶子结点，令 \(S\) 为 \(u\) 所有儿子的 \(S_x\) 的可重并，令 \(mx\) 为 \(S\) 中出现次数最多的数的出现次数

则 \(mn_u=\sum_{v\in son(u)}(mn_v+1)-mx\)，\(S_u\) 为 \(S\) 去重后的结果

使用 \(\text{DSU on tree}\) 和 unordered_map 可做到 \(O(n\log n)\)

代码

参考

T2 NFLS #P13044. 四元组

题意

一张 \(n\) 点完全图，其中 \(m\) 条边为红色，剩余为蓝色，求满足 \(a,b,c,d\) 两两之间连边为红色的无序四元组 \((a,b,c,d)\) 的数量减去全为蓝色的数量的绝对值，\(n\le10^5,m\le2\times10^5\)

分析

对于四元组 \((a,b,c,d)\)，假定 \(a<b<c<d\)

令 \(E_1(a,b,c,d)=\text{is red}(a,b)\)，\(E_{2\sim 6}\) 分别表示 \((a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)\) 之间的情况

令 \(A_i=\{(a,b,c,d)\mid E_i(a,b,c,d)=1\}\)，\(U=\{(a,b,c,d)\}\)

用 \(S[k]\) 表示取遍集合 \(S\) 所有大小为 \(k\) 的子集，则答案为以下式子的绝对值

\[\begin{aligned} &\left|\bigcap_{i=1}^6 \overline{A_i}\right|-\left|\bigcap_{i=1}^6 A_i\right|\\ =&|U|-\left|\bigcup_{i=1}^6 A_i\right|-\left|\bigcap_{i=1}^6 A_i\right|\\ =&|U|-\sum_{i=1}^6 (-1)^{i-1}\sum_{S\in \{1,2,3,4,5,6\}[i]}\left|\bigcap_{u\in S}A_u\right|-\left|\bigcap_{i=1}^6 A_i\right|\\ =&|U|+\sum_{i=1}^6 (-1)^i\sum_{S\in \{1,2,3,4,5,6\}[i]}\left|\bigcap_{u\in S}A_u\right|-\left|\bigcap_{i=1}^6 A_i\right|\\ =&\binom n4+\sum_{i=1}^5 (-1)^i\sum_{S\in \{1,2,3,4,5,6\}[i]}\left|\bigcap_{u\in S}A_u\right|\\ \end{aligned} \]

原问题拆分为求出 \(\sum_{S\in \{1,2,3,4,5,6\}[i]}\left|\bigcap_{u\in S}A_u\right|\)，其中 \(1\le i\le 5\)

令 \(d_i\) 表示 \(i\) 的度数，\(E\) 为红边集，\(E'=\{(u,v)\mid (u,v)\in E\lor (v,u)\in E,(d_u,u)>(d_v,v)\}\)

当 \(i=1\) 时，值为包含钦定一条边为红色的四元组数量，显然为 \(m\binom{n-2}{2}\)，其中 \(m\) 为钦定的红色边的方案数，\(\binom{n-2}2\) 为剩余两点的方案数

当 \(i=2\) 时有两种情况，两条红边一端相交或无交：

• 对于相交的情况，枚举相交的点 \(u\)，令 \(T=\sum_{i=1}^u \binom{d_u}2\) 表示不考虑第四个点的方案数，则贡献为 \(T\binom{n-3}1\)（注意 \(\binom x1=[x\ge 1]\ne x\)）
• 对于无交的情况，方案数为所有选择两边的方案数减去选择的两边相交的方案数，为 \(\binom m2-T\)

当 \(i=3\) 时有三种情况，其中一个点与另外三个点都有红边相连，三个点形成红色三元环，形成长为 \(3\) 的红色链

• 对于第一种情况，枚举与另外三个点都相连的点 \(u\)，贡献为 \(\sum_{i=1}^n \binom{d_i}3\)
• 对于第二种情况，容易 \(O(m\sqrt m)\) 求出 \(G=(V,E)\) 的所有三元环，令 \(c_3\) 为三元环数，则贡献为 \(c_3\binom{n-3}1\)
• 对于第三种情况，令 \(c_4=\sum_{(u,v)\in E'}\binom{d_u-1}1\binom{d_v-1}1\)，则贡献为 \(c_4-3c_3\)

当 \(i=4\) 时有两种情况，三元环上挂一个点或形成四元环

• 对于第一种情况，令之前求出的三元环的集合为 \(C_3\)，则贡献为 \(\sum_{(u,v,w)\in C_3}\binom{d_u-2}1\binom{d_v-2}1\binom{d_w-2}1\)
• 对于第二种情况，容易 \(O(m\sqrt m)\) 求出无向图的四元环数量

当 \(i=5\) 时，枚举三元环 \((u,v,w)\)，令 \(ct_e\) 表示含有边 \(e=(u,v)\) 的三元环数量，则贡献为 \(\sum_E \binom{ct_e}2\)

总时间复杂度 \(O(m\sqrt m)\)

代码

参考

NFLS #P13047. 美元巨大二的二

题意

给定 \(a_{1\sim n}\)，\(q\) 次操作，每次给定 \(l,r,k\)，对于每个 \(l\le i\le r\) 令 \(a_i\gets k^{a_i}\)，或查询 \(a\) 的区间和对 \(p\) 取模，\(n,q,P\le5\times10^4\)

分析

令 \(md_k=\varphi^k(P)\)，其中 \(\varphi^k\) 表示嵌套 \(k\) 层，设 \(c\) 为满足 \(md_c=1\) 的最小值，则可以忽略指数塔 \(c\) 层以上的部分

\(1\sim n\) 每个位置保存列表 \(v_{0\sim c}\)，其中 \(i\) 位置的 \(v_x\) 保存 \(a_i\bmod md_x\)

区间和即为 \(v_0\) 之和

对于区间令 \(a_i\gets k^{a_i}\) 的操作，若 \(i\) 在区间中，则令 \(v_x\gets k^{v_{x+1}}\bmod md_{x+1}\)（假定 \(v_{c+1}=0\)），此处假定 \(a\bmod b=\begin{cases}a&a<b\\a\bmod b+b&a\ge b\end{cases}\)（区间和的取模正常）

线段树维护 \(v\)，若区间中的 \(v\) 相同则对其变换视为区间覆盖

令 \(n-1\) 个间隔的势能为令间隔两侧数字相等所需要的操作次数，则初始每个间隔势能为 \(\log P\)，每次修改区间两个端点势能增加 \(\log P\)，区间中间每个间隔势能减少 \(1\)，势能每减少 \(1\) 需要 \(O(\log P)\) 的时间复杂度（对于每个 \(md_i\) 进行 \(O(md_i\sqrt {md_i})\) 的光速幂预处理），时间复杂度为 \(O(n\log^2 P)\)（假定 \(n,q\) 同阶）

总时间复杂度 \(O(n\log^2 P+P\sqrt P)\)，使用快速幂则时间复杂度为 \(O(n\log^2 P)\) 可过

代码

参考

比赛结果

\(80+25+0\)，\(\text{rk}30\)