线段树 分裂、合并

约定

线段树的分裂合并默认是操作 动态开点值域线段树，用 \(V\) 表示线段树的值域，用 \(a\) 和 \(b\) 表示两颗较小的树（即分裂得到的两颗子树或需要合并的两棵树）的大小（值域线段树的大小定义为叶结点的数量），用 \(a_{1\sim k}\) 表示多棵较小的树的大小

线段树分裂

给定一个 \(x\)，把值域为 \([1,V]\) 的线段树分裂为值域 \([1,x]\) 和 \((x,V]\) 的两棵树

单次分裂的时间复杂度为 \(O(\log V)\)

线段树合并

把两棵 值域相交 的线段树合并为一棵

单次时间复杂度 \(O(\min(a,b)\log V)\)

若合并多棵线段树，则总时间复杂度为 \(O(\sum a_i\log V)\)，优于启发式合并的 \(O(\sum a_i\log\sum a_i\log V)\)

若值域不交，则时间复杂度为 \(O(\log V)\) 的，实现方式类似 \(\text{fhq treap}\) 的 \(\text{merge}\) 操作

例 1：P5327 [ZJOI2019] 语言

给定一棵 \(n\) 个结点的树和 \(m\) 条链，求有多少无序点对 \((u,v)\;(u\ne v)\)，满足存在一条链同时包含两者，\(n,m\le10^5\)

考虑对于每个 \(u\) 求出包含它的合法点对数量，答案即为 \(n\) 个点对应数量之和除以 \(2\)

包含 \(u\) 的合法 \((u,v)\) 的数量为经过 \(u\) 的所有链的并的大小减一

若干条链的并即为包含所有端点的最小连通子树

包含 \(a_{1\sim k}\) 的最小连通子树的大小为 \(\frac12(\text{dis}(a_1,a_k)+\sum_{i=1}^{k-1} \text{dis}(a_i,a_{i+1}))\)，其中 \(a_{1\sim k}\) 按 \(\text{dfn}\) 排序

\(\text{dfs}\) 给定树时，维护包含当前处理结点的所有链的端点的可重集

通过树上差分，问题转化为向集合中加入数、从集合中删除数、查询集合中相邻点的距离之和（假设集合按 \(\text{dfn}\) 排序，统计答案时要加上第一个和最后一个的距离并乘上系数）、合并集合（要将处理子树时的集合与处理其父亲时的集合合并）

这容易通过动态开点权值线段树实现，其中线段树的 \(p\) 下标存储 \(\text{dfn}\) 为 \(p\) 的点的出现次数，非叶结点存储相邻点距离之和（平衡树也可以，且其空间复杂度线性）

若使用 \(O(n\log n)-O(1)\) \(\text{lca}\)，则可以做到 \(O(n\log n)\)；若使用 \(O(n)-O(\log n)\) \(\text{lca}\)，则可以做到 \(O(n\log^2 n)\)（假设 \(n,m\) 同级），空间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

例 2：T158644 [QwQOI2020] III

给定一个长为 \(n\) 的排列，\(m\) 次操作，区间升序 / 降序排序，或查询某一位置的值，\(n,m\le10^5\)

考虑颜色段均摊，有序的子段为一个颜色段，每个子段建立一棵权值线段树

对于查询某一位置的操作，找到所在段后线段树上二分即可

对于区间排序的操作，则将两端的段分裂（由于每段内有序，因此分裂成两半等同于按给定值分裂），并将中间的所有段合并为一个新段

时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)（假设 \(n,q\) 同阶），空间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

参考

1. \(\text{2024.12.13 EZDS.pdf\;\;\; by Luzhuoyuan}\)