2025.4.27 NOI 模拟赛 题解

比赛

T1 NFLS #P10179. 良盒

题意

给定 \(n\) 个二元组 \((s,p)\)，对于每个 \(1\le k\le\lfloor\frac n2\rfloor\)，从 \(n\) 个二元组中选出 \(k\) 对，其中一对 \(((s_1,p_1),(s_2,p_2))\) 的权值为 \(p_1-p_2\)，其中 \(s_1\ge s_2\)，求出 \(k\) 对权值和的最大值，\(n\le2\times10^5\)

分析

模拟费用流

先把二元组按 \(s\) 从小到大排序，建立 \(n\) 个点，\(S\) 向 \(i\) 连容量 \(1\) 费用 \(-p_i\) 的边，\(i\) 向 \(T\) 连容量 \(1\) 费用 \(p_i\) 的边，\(i\) 向 \(i+1\) 连容量 \(\infty\) 费用 \(0\) 的边，若 \(s_i=s_{i+1}\) 则 \(i+1\) 向 \(i\) 连容量 \(\infty\) 费用 \(0\) 的边

转化为类似 P4694 [PA 2013] Raper 中的形式，线段树优化到 \(O(n\log n)\)

代码

T2 NFLS #P23434. 快来做这个题！！！ \(\quad\) CF804F Fake bullions

题意

给定一张 \(n\) 点的竞赛图，点 \(i\) 上有 \(s_i\) 个人，编号 \((i,0\sim s_i-1)\)，初始已知一部分人有物体 \(X\)，若存在边 \(u\to v\) 且 \(k\) 时刻 \((u,k\bmod s_u)\) 有物体，则下一时刻 \((v,k\bmod s_v)\) 会得到物体 \(Y\)，每个人只会保留第一个得到的物体。令极长时间后点 \(i\) 上有 \(mn_i\) 个人保留了物体 \(X\)，有 \(mx_i\) 个人有物体，存在 \(c_{1\sim n}\) 满足 \(mn_i\le c_i\le mx_i\)，将 \(c\) 从大到小排序，从前 \(A\) 大中选择 \(B\) 个，求可能的选出的下标集合的数量，\(n\le5000,\sum_i s_i\le2\times10^6\)

分析

显然问题可以拆分为两部分，求出 \(mx\) 和求出最终答案（\(mn\) 容易求）

令 \(f_{i,j}\in\{0,1\}\) 表示 \((i,j)\) 这个人最终能否得到物体

若 \(u\to v\)，则可证若 \(f_{u,x}=1\) 则对于所有 \(x\equiv y\pmod{\gcd(s_u,s_v)}\) 有 \(f_{v,y}=1\)

可证对于一个 \(\text{SCC}\)，设其中的 \(s\) 的 \(\gcd\) 和为 \(g\)，则对于其中任意两个点 \(u,v\)，若 \(f_{u,x}=1\) 则对于任意 \(x\equiv y\pmod g\)，有 \(f_{v,y}=1\)

可证若竞赛图为链状物，假设 \(i\to j\) 当且仅当 \(i<j\)，则只需要考虑 \(i\to i+1\) 的边

先用兰道定理求出图的 \(\text{SCC}\)，缩点后得到链状物，分别应用两条结论求出答案，容易 \(O(n^2+\sum s_i)\) 得到 \(mx\)

然后考虑如何求出答案

对于一种选择方式，要使选择的 \(b\) 个点最靠前，显然这 \(a\) 个选择 \(mx\)，其余选择 \(mn\) 最优

枚举 \(i\) 为选出的 \(b\) 个点中 \(c\) 最小的一个，若 \(c\) 相同则比较下标

令 \(x\) 为 \((mx_i,i)<(mx_j,j)\) 的 \(j\) 的数量，除 \(i\) 外这 \(x\) 个可以在被选的 \(b\) 个中，\(X\) 代表其集合

令 \(y\) 为 \(mn_j>mx_i\) 的数量，这 \(y\) 个必然在可以被选的 \(b\) 个中，\(Y\) 代表其集合，显然 \(Y\subseteq X\)

这个 \(i\) 的贡献为

\[\sum_{j=0}^{a-y-1}\binom{x-y}j\binom y{b-j-1} \]

其中 \(j\) 枚举了 \(X/(Y\cup\{i\})\) 中选择的数量

总时间复杂度 \(O(n^2+\sum s_i)\)

代码

参考

T3 NFLS #18147. KnapsackCryptosystem \(\quad\) P6962 [NEERC 2017] Knapsack Cryptosystem

题意

给定 \(n\) 个数 \(a_{1\sim n}\) 和正整数 \(em\)，求出 \(a\) 的一个子集满足和 \(\bmod 2^{64}\) 为 \(em\)，\(n\le64,0\le a_i,em<2^{64}\)，保证有解，其中数据生成方式为先选出 \(b_{1\sim n}\)，满足 \(\sum b_i\le2^{64}\) 且 \(\forall i,\sum_{j=1}^{i-1}b_j<b_i\)，然后选择 \(r\equiv 1\pmod 2\)，令 \(a_i=(r\times b_i)\bmod 2^{64}\)，然后选择它的一个子集，令 \(em\) 为子集和

分析

当 \(n\le42\) 时容易 \(\text{Meet in the Middle}\) 做到 \(O(n2^{\frac n2})\)

当 \(n>42\) 时，由于 \(\sum b_i\le 2^{64}\)，因此 \(b_1\le \frac{2^{64}}{2^n-1}\)，又因为 \(r\) 为奇数，因此 \(b_1\) 和 \(a_1\) 的 ctz 相同，令其为 \(cnt\)

因此 \(b_1\) 的选择只有 \(\left\lfloor\frac{\frac{2^{64}}{(2^n-1)2^{cnt}}+1}2\right\rfloor\) 种，枚举之

\(a_1\equiv r_1\times b_1\pmod {2^{64}}\)，而 \(a_1,b_1\) 都是 \(2^{cnt}\) 的倍数，因此

\[r^{-1}\equiv \left(\frac{a_1}{2^{cnt}}\right)^{-1}\times \frac{b_1}{2^{cnt}}\pmod{2^{64-cnt}} \]

可以得到 \(r^{-1}\) 的低 \(64-cnt\) 位

然后枚举 \(r^{-1}\) 的高 \(cnt\) 位，\(O(n)\) 验证之即可

时间复杂度 \(O(\min(n2^{\frac n2},{\frac{2^{64}}{(2^n-1)2^{cnt+1}}}\times 2^{cnt}\times n))=O(\min(n2^{\frac n2},{\frac{2^{63}}{2^n}}\times n))\)，当 \(n\le 42\) 时取前者，\(n>42\) 时取后者可以做到 \(O(n2^k)\)，其中 \(k\le21\)

代码

参考

比赛结果

\(100+0+38\)，\(\text{rk}21\)