做题记录 25.4.24

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1903F Babysitting

二分 \(k\)，转化为 \(2-\text{SAT}\)，线段树优化建图即可

时间复杂度 \(O(n\log^2 n+m\log n)\)

由于除了首尾外点连向的区间长度固定，因此按区间长度减一分块，则连向的区间必为一段前缀加一段后缀，这样边数是 \(O(n+m)\) 的，时间复杂度 \(O((n+m)\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) (Jiandan) Mua (I) - Lexical Analyzer

正则表达式即可

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1903D2 Maximum And Queries (hard version)

令 \(S=\sum a_i\)

当 \(k+S\ge n\times 2^{20}\) 时答案为 \(\lfloor\frac{k+S}n\rfloor\)

预处理 \(f_{p,v}\) 表示二进制下第 \(p\) 位为 \(0\) 且值为 \(v\) 的超集的 \(a_i\) 数量，\(g_{p,v}\) 表示这些数的低 \(p\) 位之和，通过高维后缀和容易 \(O(V\log^2 V)\) 求出两者

从高到低贪心，设目前需要确定第 \(i\) 位，已经确定的高位为 \(s\)，剩余可用增加量为 \(k\)

若第 \(i\) 位填 \(1\)，则 \(f_{i,s}\) 个数需要把第 \(i\) 位变为 \(1\)，低 \(i-1\) 位清空，这部分需要 \(f_{i,s}\times 2^i-g_{i,s}\) 步，记高位中已经这样操作了的 \(f\) 之和为 \(t\)，则这 \(t\) 个数各自需要 \(2^i\) 步，其余数不变，因此若 \(k\ge f_{i,s}\times 2^i-g_{i,s}+t\times 2^i\) 时这一位可以为 \(1\)，同时跟新相关值

时间复杂度 \(O(V\log^2 V+q\log V)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1902F Trees and XOR Queries Again

拆为两条直链，对于每个点求出根到它路径的前缀线性基，在 \(\text{lca}\) 处合并即可

时间复杂度 \(O(n\log V+q\log^2 V)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1898F Vova Escapes the Matrix

对于 \(1\) 型点答案为 \(\text{.}\) 的数量，对于 \(2\) 型点答案为 \(\text{.}\) 的数量减去 \(\text{V}\) 到出口的最短距离

对于 \(3\) 型点，每格空地求出它到最近的出口和次近的出口的距离，答案为 \(\text{.}\) 的数量减去 到最近出口的距离，到次近出口的距离，到 \(\text{V}\) 的距离之和 的最大值

时间复杂度 \(O(\sum nm\log nm)\)，实际上代码中的 \(\text{dijkstra}\) 可以改成 \(\text{bfs}\)，时间复杂度为 \(O(\sum nm)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1896F Bracket Xoring

显然每次操作都会同时翻转 \(1\) 和 \(2n\) 位置，因此若两者不同则必然无解

由于匹配的括号串长度为偶数，因此每次都翻转长为偶数的串，串中 \(1\) 的数量奇偶性不变，因此若初始有奇数个 \(1\) 则必然无解

若 \(1\) 位置为 \(0\)，则操作 \(()()\cdots()\) 使得整个串都翻转

此时 \(1\) 和 \(2n\) 位置都是 \(0\)，考虑令中间的每个 \(s_{2i}\) 都等于 \(s_{2i+1}\)

若 \(s_{2i}=s_{2i+1}\) 则这两个位置放置 \(()\)，否则放置 \(((\) 或 \())\)，具体只要匹配即可

这样每个 \(()\) 外有若干个 \(((\cdots))\) 和最外层的一个 \((\cdots)\)，总变换次数为偶数，即不变，对于 \(((\) 只有后一个位置变换，对于 \())\) 前一个位置变换

显然变换后满足 \(s_{2i}=s_{2i+1}\)

然后考虑将整个字符串置 \(0\)

此时 \(s_1\) 和 \(s_{2n}\) 都是 \(1\)，\(1\) 的数量为偶数，任意两个 \(1\) 之间都有奇数个 \(0\)，令 \(1\) 位置放置 \((\)，\(2n\) 位置放置 \()\)，若 \(s_{2i}=s_{2i+1}\) 都是 \(1\) 则放置 \()(\)，否则放置 \(()\)

显然变换后符合要求

时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1895F Fancy Arrays

差分为 \(\min a_i\le x+k-1\) 的方案数减去 \(\max a_i<x\) 的方案数

对于前者，发现确定了 \(\min a_i\) 和差分数组后有且仅有一组合法的 \(a_i\) 与之对应，\(\min a_i\) 有 \(x+k\) 种选择，差分数组有 \((2k+1)^{n-1}\) 种选择，总方案数为 \((x+k)(2k+1)^{n-1}\)

对于后者，容易矩阵快速幂优化 \(dp\) 实现，时间复杂度 \(O(k^3\log n)\)

总时间复杂度 \(O(k^3\log n)\)

代码

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