做题记录 25.4.10

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1928E Modular Sequence

显然 \(\forall a_i,a_i\equiv x\pmod y\)

令 \(s\gets \frac{s-n \cdot (x\bmod y)}y\)（若无法整除或出现负数则无解），则转化为一个序列 \(b_{1\sim n}\)，\(\sum b_i=s\)，\(b_1=\lfloor\frac xy\rfloor\)，满足 \(b_{i+1}=0\) 或 \(b_{i+1}=b_i+1\)，则 \(a_i=b_iy+(x\bmod y)\) 为一组可行的 \(a\)

\(b\) 中每一段长度为 \(O(\sqrt n)\) 的，可 \(dp\) 出 \(f_s\) 表示 \(\sum b_i=s\) 的情况下 \(b\) 的最小长度，记录转移来源，可构造方案

时间复杂度 \(O(S\sqrt S+\sum s)\)，其中 \(S=\max s\)

代码

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\(\textcolor{blue}\odot\) CF1927G Paint Charges

令 \(f_i\) 表示覆盖 \(1\sim i\) 的最小代价

一种情况为选择 \([i-a_i+1,i]\)，转移为

\[f_i\gets f_j+1\;(\max(0,i-a_i)\le j<i) \]

一种情况为选择一个 \(j+a_j-1\ge i\) 的 \([j,j+a_j-1]\)，转移为

\[f_i\gets[j+a_j-1\ge i]\;\;f_{j-1}+1 \]

第三种情况为选择一对 \([y-a_y+1,y]\) 和 \([x,x+a_x-1]\)，满足 \(x<y,x+a_x-1\ge i,y\le i,y-a_y+1\le x\)，转移为

\[f_i\gets[\exists y-a_y+1\le x<y,x+a_x-1\ge i]\;\; f_{y-a_y}+2 \]

时间复杂度 \(O(\sum n^2)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1920F2 Smooth Sailing (Hard Version)

选择一个岛屿的格子，向边缘引一条射线（射线沿着网格线，不穿过网格），则路径合法当且仅当穿过射线奇数次且闭合

建立 \(O(nm)\) 个点 \(p(i,j,o)\;(1\le i\le n,1\le j\le m,o\in\{0,1\})\) 表示目前在 \((i,j)\)，穿过射线 \(o\) 次（其中 \((i,j)\) 不是岛屿）

预处理 \(ds(i,j)\) 表示格子 \((i,j)\) 到最近的火山的距离

每个点 \(p(i,j,o)\) 点权为 \(ds(i,j)\)，建出图后一组询问 \((x,y)\) 等价于求 \(p(x,y,0)\) 和 \(p(x,y,1)\) 之间路径最小点权的最大值

显然建立的图为无向图，因此转化为 \(\text{Kruskal}\) 重构树上求 \(\text{lca}\)

时间复杂度 \(O((nm+q)\log nm)\)，把排序和 \(\text{lca}\) 做到线性则优化到 \(O(nm\alpha(nm)+q)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1923F Shrink-Reverse

显然把翻转操作放在最后一定不劣，且翻转超过两次一定不优

若翻转了两次，相当于去掉前缀和后缀的 \(0\)，由于比较最终结果时忽略前导 \(0\)，因此实际等价于去除后缀 \(0\)，若中间一段都是 \(1\) 显然与翻转一次相同，若中间一段存在 \(0\) 则把中间一段最右侧的 \(1\) 与一个 \(0\) 交换且翻转一次，显然更优

综上，翻转只会进行至多一次且在最后

若不翻转，则双指针每次把第一个 \(1\) 与最后一个 \(0\) 交换，直到步数用尽或 \(1\) 集中在最后为止

若翻转一次，相当于把一段前缀中的 \(1\) 全部移到后面，然后最小化后缀反串的字典序

先把整个字符串翻转，则等价于选择一个区间，使得把区间外的 \(1\) 从后往前填充到区间中后这个区间的字典序最小

考虑一个区间 \([l,r]\) 能成为被选择的区间的条件，发现合法当且仅当区间外 \(1\) 的数量不超过 \(k\)，且区间内 \(0\) 的数量不小于区间外 \(1\) 的数量，显然具有单调性，因此双指针对于每个左端点求出最小合法右端点

这样得到 \(O(n)\) 个区间（显然右端点不取最小值时不优），可证取长度最小的中字典序最小的一个最优

这一过程可 \(\text{SA}\) 实现

时间复杂度 \(O(n\log n)\)，若使用 \(\text{SA-IS}\) 则可到 \(O(n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1924D Balanced Subsequences

考虑对于一个确定的括号序列 \(s_{1\sim n+m}\)，求出它的最长合法括号子序列

维护一个栈，扫描序列，若为左括号则入栈，若为右括号，栈非空时则弹栈，否则说明当前右括号无法匹配

最长合法括号子序列长度为 匹配的右括号数量乘以 \(2\)

要使长度为 \(2k\)，等价于有恰好 \(m-k\) 个右括号没有匹配

将扫描过程中的 \((x,y)\) 连接为一条路径，其中 \(x\) 为当前扫描的括号下标，\(y\) 为栈中左括号数量

相当于从 \((0,0)\) 出发走 \(n+m\) 步，每次从 \((x,y)\) 走到 \((x+1,y+1)\) 或 \((x+1,\max(0,y-1))\)，最终走到 \((n+m,n-k)\)

其方案数等价于从 \((0,0)\) 走到 \((n+m,n-m)\)，每次 \(x\) 坐标加一，\(y\) 坐标改变 \(1\)，且经过的最小 \(y\) 坐标为 \(k-m\)

旋转 \(45^{\circ}\)，等价于 \((0,0)\) 开始走到 \((m,n)\)，且碰到直线 \(y=x+k-m\) 的方案数

可求出方案数为 \(\binom{n+m}k-\binom{n+m}{k-1}\)

时间复杂度可做到 \(O(V+T)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1919F2 Wine Factory (Hard Version)

若使用最大流，则 \(S\) 向 \(i\) 连容量 \(a_i\) 的边，\(i\) 向 \(T\) 连容量 \(b_i\) 的边，\(i\) 向 \(i+1\) 连容量 \(c_i\) 的边

转化为最小割，则存在一种最优解使得对于每个 \(i\)，\(S\to i\) 和 \(i\to T\) 中恰好只割了一条

线段树维护网络，节点 \(k[l:r]\) 中保存 \(v(0/1,0/1)\) 表示割了 \((S\to l)\;/\;(l\to T)\) 和 \((S\to r)\;/\;(r\to T)\) 的情况下的最小割

合并为 \(F(a,d)\gets L(a,b)+R(c,d)+[(b,c)=(1,0)]w\)，其中 \(F\) 代表父节点的 \(v\)，\(L\) 和 \(R\) 代表两个儿子的 \(v\)，\(w\) 表示中间的 \(c\) 的值

时间复杂度 \(O(n+q\log n)\)

代码

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