2025.4.21 NOI 模拟赛 题解

比赛

T1 NFLS #P13049. 数数题

题意

给定 \(n,k\)，对于每个 \(1\le i\le n\)，求出 \(k\) 维空间中放置 \(i\) 个互不区分的超长方体的本质不同方案数，两种方案本质不同当且仅当存在一个维度使得两种方案 \(n\) 个超长方体的坐标离散化后不同，任意两个超长方体位置不能完全相同，\(n,k\le10^4\)

分析

令 \(z_i\) 表示选择 \(i\) 条有标号可相同的线段的方案数（即 \(k=1\) 带标号且可重情况下的答案）

令 \(dp_{i,j}\) 表示按此方式选择 \(i\) 条线段，它们的端点去重后一共有 \(j\) 个的方案数，则 \(dp_{1,2}=1,dp_{i,j}\gets \binom j2 dp_{i-1,j},dp_{i,j+1}\gets j(j+1)dp_{i-1,j},dp_{i,j+2}\gets (\binom{j+1}2+(j+1)) dp_{i-1,j}\)，\(z_i=\sum_j dp_{i,j}\)，容易 \(O(n^2)\) 计算 \(z\)

令 \(g_i\) 表示带标号情况下 \(i\) 的答案，则不带标号的答案为 \(\frac{g_i}{i!}\)

根据定义有

\[z_i^k=\sum_{j\le i}\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}g_j \]

因此得到 \(z_i\) 和 \(g_{1\sim i-1}\) 后可得到 \(g_i\)，从而 \(O(n^2)\) 计算出 \(g\)

总时间复杂度 \(O(n^2)\)，空间容易做到 \(O(n)\)

代码

参考

T2 NFLS #P13048. 特趣米诺

题意

一个 \(n\times m\) 的网格，用七种四连骨牌（同俄罗斯方块，分别命名为 \(\text{ZSJLTOI}\)）密铺，要求每种的出现次数相同，求具体方案或判定无解，\(n\times m\le10^6\)

分析

有解的前提为 \(56\mid nm\) 且 \(n\ge 3,m\ge 3\)

证明 \(56\mid nm\)：

• 显然必须有 \(28\mid nm\)
• 由于 \(28\mid nm\)，因此 \(n\) 和 \(m\) 中至少一个为偶数
• 因此对网格黑白染色，黑色与白色数量相同且都是偶数
• 发现除了 \(\text{T}\) 外每个骨牌都占据二黑二白，\(\text{T}\) 要么占据一黑三白，要么三黑一白
• 要使黑白的数量都是偶数，必然有偶数个 \(\text{T}\)
• 因此 \(nm=2k\times 28=56k\) 必然为 \(56\) 的倍数

证明 \(n\ge 3\) 或 \(m\ge 3\)：

• \(\min(n,m)=1\) 时除了 \(\text{I}\) 都放不下，显然不合法
• \(\min(n,m)=2\) 时，假设 \(n=2\)，则网格只有两行，从左往右依次放置时，若要保持贴合则两行的奇偶性相同，因此 \(\text{TSZ}\) 都无法放置，不合法

以下通过构造说明这一前提的充分性

显然 \(7\mid n\) 或 \(7\mid m\)，假设 \(7\mid n\)

若 \(8\mid m\)，则构造出 \(7\times 8\) 的即可覆盖整个网格

若 \(8\nmid m\) 且 \(4\mid m\)，则此时必然有 \(14\mid n\)，构造出 \(14\times 4\) 的即可覆盖整个网格

若 \(4\nmid m\) 且 \(2\mid m\)，则此时必然有 \(28\mid n\) 且 \(m\ge 6\)，构造出 \(28\times 6\) 的，然后两个 \(14\times 4\) 的组合出 \(28\times 4\) 的，\(6+4k\) 即可组合出所有 \(m\)，\(n\) 方向复制若干次即可覆盖网格

若 \(2\nmid m\)，则此时必有 \(56\mid n\) 且 \(m\ge 3\)，构造出 \(56\times 3\) 和 \(56\times 5\) 的，然后四个 \(14\times 4\) 的组合出 \(56\times 4\)，\(4k+3\) 和 \(4k+5\) 即可组合出所有 \(m\)，\(n\) 方向复制若干次即可覆盖网格

因此需要构造 \(7\times 8,14\times 4,28\times 6,56\times 3,56\times 5\) 的网格

除 \(56\times 3\) 的外 \(\text{Dancing Links}\) 都可快速求出，\(6\times 3\) 的情况需要一定的尝试

时间复杂度 \(O(nm)\)

代码

参考

T3 NFLS #P13050. 任务

比赛结果

\(70+40+0\)，\(\text{rk}24\)