做题记录 25.4.12

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1922F Replace on Segment

出现次数最少的数字的出现次数一定不超过 \(\lfloor\frac nx\rfloor\)，通过 \(\lfloor\frac nx\rfloor+1\) 步就可以全部变为这种值，因此答案上限为 \(\lfloor\frac nx\rfloor+1\)

令 \(eq_{l,o,v}\) 表示经过不超过 \(o\) 次操作令区间内值都变成 \(v\)，左端点为 \(l\) 时右端点的最大值，\(ne_{l,o,v}\) 表示区间内值都不等于 \(v\) 的最大右端点

转移有两种，一种为把 \(o\) 次操作拆分为 \(l+r=o\)，先用 \(l\) 次操作处理一段，接下来部分尽量用 \(r\) 次操作覆盖；另一种为考虑最后一次操作，可以令区间中数都 \(ne v\)，也可以令区间中 \(\ne v\) 的全部变成 \(=v\) 的，操作后需要尝试扩展右端点（区间后面可能接了一段 \(\ne v\) 或 \(=v\) 的，可以把这部分纳入区间）

时间复杂度 \(O(\sum \frac{n^3}x)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1919E Counting Prefixes

将 \(p\) 分为 \(>0\)，\(=0\)，\(<0\) 三段，对于 \(>0\) 和 \(<0\) 的部分分别求出 \(f_{i,0/1}\) 和 \(g_{i,0/1}\)，表示所有 \(>0\) 的 \(p\)、\(<0\) 的 \(p\) 填为 \(i\) 个连续段，且其中是否含有包含位置 \(n\) 的连续段，该情况下的方案数

两者计算方式相似，以 \(f\) 为例

令 \(dp_{i,j,0/1}\) 表示填充了 \(\ge i\) 的 \(p\)，形成 \(j\) 个连续段，是否含有第 \(n\) 个位置 的方案数，则 \(f_{i,0/1}=dp_{1,i,0/1}\)

考虑如何计算 \(dp\)

令 \(c_i\) 表示 \(>0\) 的 \(p\) 中 \(i\) 的数量，\(mx\) 表示最大的 \(p\)

若 \(mx\le 0\)，则 \(dp_{1,0,0}=1\)，其余为 \(0\)

否则 \(dp_{mx,c_{mx},0/1}=1\)

\(dp_{i+1,j,0}\) 的转移为

\[dp_{i,cnt_i-j,0/1}\gets dp_{i+1,j,0}\binom{cnt_i-1}{j} \]

即其中 \(j\) 个 \(i\) 都贴在某个 \(i+1\) 右侧，同时合并若干段，剩下 \(cnt_i-j\) 个 \(i\) 每个贴在一个新连续段的左侧，总计 \(cnt_i-j\) 段，方案数相当于 \(cnt_i\) 个 \(i\) 依次排列，共 \(cnt_i-1\) 个空隙，选择 \(j\) 个插入之前的连续段，共 \(\binom{cnt_i-1}j\) 种选择

\(dp_{i+1,j,1}\) 的转移为

\[dp_{i,cnt_i-j+1,1}\gets dp_{i+1,j,1}\binom{cnt_i-1}{j-1} \]

与上一种类似

发现 \(dp\) 中非 \(0\) 的位置只有 \(O(n)\) 个，用 unordered_map 保存有用位置即可把计算 \(f\) 和 \(g\) 的时间复杂度降到 \(O(n)\)

令 \(c_0\) 为 \(0\) 的数量加一（前缀和 \(0\) 位置的一个 \(0\)）

枚举 \(\le i\le c_0\) 表示 \(>0\) 的段数量，则答案为

\[\sum_{i=0}^{c_0}\left(\binom{c_0-1}{i-1}f_{i,1}g_{c_0-i,0}+\binom{c_0-1}{i}f_{i,0}g_{c_0-i,1}+\binom{c_0-1}{i}f_{i,0}g_{c_0-i-1,0}\right) \]

时间复杂度 \(O(\sum n)\)，常数极大

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1918F Caterpillar on a Tree

先令 \(k\gets k+1\)，然后强制要求回到根，显然这样处理答案不变

显然由叶子回到根最优

若 \(k=0\) 则答案 \(=2(n-1)\)，然后考虑 \(k\ne 0\) 的情况

令 \(dep_u\) 表示 \(u\) 到根的距离，\(d_u\) 表示 \(u\) 子树内最大的 \(dep\)，\(p_u\) 表示 \(d_u\) 对应的点

对于 \(x\)，若要在其子树内选择一个叶子回到根，使得其最后被遍历，且遍历它之后需要回到 \(fa_x\)，显然选择 \(p_x\)，若不使用传送门，要从 \(p_x\) 到 \(fa_x\) 需要 \(dep_{p_x}-dep_{fa_x}=d_x-dep_x+1\) 步，若使用传送门则用 \(dep_{fa_x}=dep_x-1\) 步，即使用传送门可节约 \(d_x-2dep_x+2\) 步

选择 \(d_x-2dep_x+2\) 前 \(k\) 大的 \(p_x\) 即可（注意不能重复选）

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

参考