做题记录 25.4.9

比赛

\(\textcolor{purple}\odot\) P3511 [POI 2010] MOS-Bridges

二分答案，转化为一张图中有有向边和无向边，要给无向边定向使之有欧拉回路

有欧拉回路等价于每个点出度等于总度数的一半

因此建立二分图，每个左部点为一条边，每个右部点为一个点，左部点只能匹配一次，第 \(i\) 个右部点匹配 \(\frac{deg_i}2\) 次

对于有向边 \(u\to v\)，左部点向右部的 \(v\) 连边

对于无向边 \(u-v\)，左部点向右部的 \(u,v\) 分别连边

若所有左部点都匹配，则存在欧拉路，此时若左部 \(i\) 匹配右部 \(j\)，表示第 \(i\) 条边定向为指向 \(j\)

根据定向结果建图求出欧拉路即可构造方案

时间复杂度 \(O((n+m)^{1.5}\log V)\)，可优化到 \(O((n+m)^{1.5}\log m)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) CF1458D Flip and Reverse

令 \(0\) 为 \(-1\)，\(1\) 为 \(+1\)，令 \(s_i\) 为 \(1\sim i\) 的前缀和，从 \(-n\sim n\) 分别建立一个点，所有 \(s_i\) 连向 \(s_{i+1}\)（其中 \(i<n\)），则序列可以看做一条从 \(0\) 开始的欧拉路

序列中的操作等价于把欧拉路中一个环的遍历顺序取反

因此任意一条从 \(0\) 开始的欧拉路都可对应一个合法序列

由于要求序列字典序最小，等价于要求欧拉路字典序最小

有一种 \(O(n)\) 的简单实现：令 \(cnt_{i,0}\) 表示目前为止 \(i\to i-1\) 的数量，\(cnt_{i,1}\) 表示目前 \(i\to i+1\) 的数量

令 \(x\) 表示目前所在的点，初始 \(x=0\)，\(cnt\) 的初始值容易预处理

若 \(cnt_{x,0}>0\) 且 \(cnt_{x-1,1}>0\)，则说明存在一个 \(x\to x-1\to\cdots\to x-1\to x\) 的环，因此当前位置可以 填 \(0\)，令 \(cnt_{x,0}\gets cnt_{x,0}-1,x\gets x-1\)

否则若 \(cnt_{x,1}>0\)，则此时要么没有向 \(x-1\) 的边，要么存在向 \(x-1\) 的边但没有回到 \(x\) 的边，两种情况下都不能先移到 \(x-1\)，因此当前位置只能填 \(1\)，令 \(cnt_{x,1}\gets cnt_{x,1}-1,x\gets x+1\)

否则当前位置可以填 \(0\)，令 \(cnt_{x,0}\gets cnt_{x,0}-1,x\gets x-1\)

总时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) CF1163F Indecisive Taxi Fee

删边最短路模板题

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) P8456 「SWTR-8」地地铁铁

假设边权为 \(0/1\)

总点对数量为 \(\binom n2\)，考虑减去不合法的得到合法数量

不合法的 \((x,y)\) 分为三类：

• \(x\) 和 \(y\) 之间任意简单路径都只经过 \(0\) 边
• \(x\) 和 \(y\) 之间任意简单路径都只经过 \(1\) 边
• \(x\) 和 \(y\) 之间任意简单路径都只经过 \(0\) 或只经过 \(1\)，且两种路径都有

前两种计算方式相同，以第一种为例，可证若一个点双中存在 \(1\) 边，则圆方树上经过这个点双的点对之间一定存在经过这条 \(1\) 边的路径，因此删去含 \(1\) 边的点双内的所有边，满足第一种条件的点对数量为连通块大小选 \(2\) 之和

对于第三种情况，显然满足要求的 \((x,y)\) 必在同一点双内，可证一个点双内至多有一组这样的 \((x,y)\)，且一个点双内存在满足要求的点对 当且仅当 点双内存在恰好两个点满足点同时含有指向同一点双内点的 \(0\) 边和 \(1\) 边

通过一次 \(\text{Tarjan}\) 求出每个点双内的边和点，容易处理情况三

情况二容易通过并查集实现，也可建图后直接统计连通块

时间复杂度 \(O(n+m\alpha(n))\)，可做到 \(O(n+m)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) CF1515G Phoenix and Odometers

显然各个强连通分量之间独立，因此分开考虑

假设一个强连通分量中存在长为 \(a\) 和 \(b\) 的环，则这个连通分量可以表示出长为 \(ax+by\;(x,y\in\mathbb N^+)\) 的环，根据裴蜀定理，相当于能表示出所有 \(\gcd(a,b)\mid w\)（不需要考虑 \(w<\min(a,b)\) 的情况，因为 \(x,y,a,b,w\) 都是对询问中的 \(t\) 取模），因此问题转化为求出一个强连通分量中所有环长的 \(\gcd\) 和

先一次 \(\text{Tarjan}\) 求出所有强连通块，然后对连通块进行 \(\text{dfs}\)，求出每个点到搜索树根的距离 \(d_u\)，对于非树边 \((u,v,w)\)，令当前连通块的 \(\gcd\) 和对 \(d_u-d_v+w\) 取 \(\gcd\)

时间复杂度 \(O(\sum (n+(m+q)\log V))\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1361E James and the Chase

显然一个点合法当且仅当以这个点为起点进行 \(\text{dfs}\) 时，\(\text{dfs}\) 树上只存在返祖边和树边

这样可以 \(O(n)\) 判断一个点是否合法

假如已经找到一个合法的点 \(u\)，考虑如何找到所有合法的点

可证非根结点 \(u\) 合法当且仅当其子树内只存在恰好一条到 \(u\) 的祖先（不含 \(u\)）的返祖边，满足指向的点合法

先通过树形 \(dp\) 求出返祖边的数量和具体指向的结点，然后通过一次 \(\text{dfs}\) 找到所有合法点，时间复杂度 \(O(n)\)

随机 \(100\) 次并判断，若存在一个合法的 \(u\) 则由其求出答案，否则直接判断无解，错误概率只有 \(0.8^{100}\approx 2\times10^{-10}\)

时间复杂度 \(O(\sum Tn)\)，其中 \(T\) 为随机次数 \(100\)

代码

参考