做题记录 24.4.5

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1949K Make Triangle

显然等价于将 \(\{v_i\}\) 划分为大小为 \(a,b,c\) 的三个集合 \(A,B,C\) 满足任意集合内总和 \(<s\)，其中 \(s=\left\lceil\frac{\sum v_i}2\right\rceil\)

令 \(P(S)=\sum_{i\in S}i\)，令 \(d(S)=\begin{cases}a&S=A\\b&S=B\\c&S=C\end{cases}\)，初始令 \(A,B,C\;\gets \mathbb\emptyset\)，将 \(v\) 从小到大排序，然后从大到小考虑 \(v\) 中每个元素应该加入的集合，设当前考虑到 \(v_i\)

若存在 \(S\in\{A,B,C\}\) 使得 \(P(S)+\sum_{j=1}^{d(S)-|S|}v_j\ge s\) 则显然无解

若存在 \(S\in\{A,B,C\}\) 使得 \(|S|<d(S)\) 且 \(P(S)+v_i+\sum_{j=1}^{d(S)-|S|-1}v_j<s\)，则可将 \(v_i\) 加入 \(S\)

若 \(v_i\) 无法加入任意一个集合则无解

这一构造必要性显然，充分性证明

时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1945H GCD is Greater

显然 \(|A|=2\) 时一定不劣

对于某一二进制位，若超过两个数这一位为 \(0\)，则 \(\text{AND}_{y\in B}\{y\}\) 的这一位必然为 \(0\)

若这一位为 \(0\) 的数不超过两个，则将这些数所在位置加入一个集合 \(S\) 中

这样最优解中 \(A=\{a_x,a_y\}\) 有两种种情况：

• \(x\in S\lor y\in S\)
• \(x\notin S\land y\notin S\)

对于前一种情况，假定是 \(x\in S\)，则枚举 \(x\)，然后枚举 \(y\ne x\)，结合 \(\text{ST}\) 表 \(O(\log V)\)（因为还要一次 \(\gcd\)）内判断一组 \((x,y)\) 是否合法，这部分时间复杂度为 \(O(n\log^2 V)\)

对于后一种情况，显然 \(\text{AND}_{y\in B}\{y\}\) 的值是确定的，此时只要找到 \(\gcd(a_x,a_y)\) 最大的一对 \(a_x,a_y\) 即可，这部分时间复杂度容易做到 \(O(V\ln V+V\log V)=O(V\log V)\)

总时间复杂度 \(O(\sum (n\log^2 V+V\log V))\)

代码

参考

\(\textcolor{green}\odot\) CF1945G Cook and Porridge

模拟，堆优化即可，时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)（假设 \(n,d\) 同阶）

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1949D Funny or Scary?

在所有边都未知的情况下，考虑把点划分为两个部分，其中一部分大小为 \(\left\lceil\frac34n\right\rceil\)，这部分内部的边权为 \(0\)，剩余边权为 \(1\)，此时最长连续 \(0\) 路径长度为 \(\left\lceil\frac 34n\right\rceil-1\)，最长连续 \(1\) 路径长度为 \(2\left\lfloor\frac n4\right\rfloor\)，符合要求

然后考虑给定一部分边的情况

从给定边形成的连通块中选出一个总点数不超过 \(\min(n,\left\lceil\frac34 n\right\rceil+1)\) 的子集（实际上不 \(+1\) 也可过），令 \(S\) 为这个子集中的点的集合

具体计算方式为将连通块按点数从大到小排序，然后枚举每个连通块，可加入就加入

令 \(ss\) 为最小的连通块的大小，则根据上述过程，必有 \(\left\lceil\frac34 n\right\rceil+1-ss<|S|\le\left\lceil\frac34 n\right\rceil+1\)

由于只连了 \(\left\lfloor\frac n2\right\rfloor\) 条边，因此当 \(n\ge 3\) 时，最小连通块大小一定 \(\le 1\)，即此时有 \(\left\lceil\frac34 n\right\rceil\le|S|\le\left\lceil\frac34 n\right\rceil+1\)；当 \(n=2\) 时，有 \(0\le|S|\le 2\)

\(S\) 内确定的边中，必有一种出现次数 \(\le\left\lfloor\frac n4\right\rfloor\)，设为 \(v\;(v\in\{0,1\})\)，\(S\) 外未确定边定为 \(v\)，\(S\) 内未确定边定为 \(1-v\)

此时权值为 \(v\) 的路径长度不超过 \(2(n-|S|)+\left\lfloor\frac n4\right\rfloor\)，\(n>2\) 时 \(2(n-|S|)+\left\lfloor\frac n4\right\rfloor\le 2(n-\left\lceil\frac34 n\right\rceil)+\left\lfloor\frac n4\right\rfloor=3\left\lfloor\frac n4\right\rfloor\le \left\lceil\frac34n\right\rceil\)，\(n=2\) 时不超过 \(\left\lceil\frac34n\right\rceil=2\)

权值为 \(1-v\) 的路径长度不超过 \(|S|-1\le \left\lceil\frac34n\right\rceil\)

时间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

参考