做题记录 25.3.27

比赛

\(\textcolor{black}\odot\) P4931 [MtOI2018] 情侣？给我烧了！（加强版）

令 \(f_i\) 表示 \(i\) 对都不合法的方案数，则 \((n,k)\) 的答案为 \(C_n^kA_n^k2^k f(n-k)\)，问题转化为如何求出 \(f\)

其通项公式为 \(f_k=\sum_i (-1)^i (2k-2i)!C_k^i A_k^i 2^i\)，可以卷积，但可以做到线性

显然 \(f_0=1\)，已知 \(f_{0\sim i}\)，考虑如何递推到 \(i+1\)

第 \(i+1\) 行必须坐不匹配的，共 \(2i(2i+2)\) 种选法

设第 \(i+1\) 行两个另一半坐在一起，显然也不匹配，贡献为 \(2if_{i-1}\)

若不坐在一起，则将两者看做一对相匹配的，贡献为 \(f_i\)

因此 \(f_{i+1}=4i(i+1)f_i+8i^2(i+1)f_{i-1}\)

时间复杂度 \(O(V+T)\)

代码

参考

\(\textcolor{black}\odot\) CF1085G Beautiful Matrix

即计算字典序小于给定矩阵的合法矩阵 \(A'\) 数量

枚举第一个不同的位置 \((i,j)\)，需要计算 \(A'(1\sim i-1,1\sim n)=A(1\sim i-1,1\sim n),A'(i,1\sim j-1)=A(i,1\sim j-1),A'(i,j)<A(i,j)\) 的合法 \(A'\) 数量

令 \(d_{i,j}\) 表示 \(i\) 个元素放置到 \(i\) 个位置，其中对于 \(1\le x\le j\)，第 \(x\) 个不能放到位置 \(x\) 的方案数（计算过程在后面）

显然 \(d_{i,i}\) 为错排数列

\(A'(i+1\sim n,1\sim n)\) 的总方案数为 \({d_{n,n}}^{n-i}\)，容易计算，因此关键在于计算 \(A'(i,j\sim n)\) 的方案数

当 \(i=1\) 时，所有 \((1,1\sim n)\) 的总贡献为字典序小于 \(A_{1,1\sim n}\) 的排列数量乘以 \({d_{n,n}}^{n-1}\)，前者容易使用康托展开计算出，时间复杂度 \(O(n\log n)\)

当 \(i>1\) 时，显然 \(A'(i,j\sim n)\) 为 \(A(i,j\sim n)\) 的一个排列，且 \(\forall j\le x\le n,A'(i,x)\ne A(i-1,x)\)，\(A'(i,j)<A(i,j)\)

显然满足上述条件的一定合法

令 \(ct=|\{A(i,x)\mid j\le x\le n,A(i,x)<A(i,j),A(i,x)\ne A(i-1,j)\}|\) 为 \(A'(i,j)\) 的方案数

令 \(p=|\{A(i,x)\mid j\le x\le n\}\cap\{A(i-1,x)\mid j+1\le x\le n\}|\) 为 \(A'(i,j+1\sim n)\) 中可能出现 \(A'(i,x)=A(i-1,x)\) 的数量

令 \(ctl=|\{A(i-1,x)\mid j+1\le x\le n\}\cap \{A(i,x)\mid j\le x\le n,A(i,x)<A(i,j)\}|\) 为出现 \(A'(i,j)=A(i-1,j)\) 的方案数

\(A'(i,j)\) 有 \(ctl\) 种情况占用了一个 \(p\) 中的数，贡献为 \(ctl\times d_{n-j,p-1}\)，剩余 \(ct-ctl\) 种情况没有占用，贡献为 \((ct-ctl)\times d_{n-j,p}\)，两者都要乘以 \({d_{n,n}}^{n-i}\)

\(ct,p,ctl\) 都可用树状数组维护

时间复杂度 \(O(n^2\log n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF512D Fox And Travelling

每次将选择的点删去，发现每次只能删去叶子或孤点

因此环上的点一定无法被删去，通过拓扑排序求出能删去的点，显然构成森林

一部分为无根树（其所在连通块内没有环），一部分为有根树（所在连通块的一部分）

显然每棵树可以分别计算，最终 \(r_{i+j}\gets \binom{i+j}{i,j}a_ib_j\) 合并起来即可

对于有根树，直接 \(dp\) 即可，令 \(dp_{u,c}\) 表示子树 \(u\) 内选择 \(c\) 个点的方案数，将所有儿子的 \(dp\) 合并起来后令 \(dp_{u,sz_u}\gets dp_{u,sz_u-1}\) 即可（所有子树都选后才能选 \(u\)）

对于无根树，每个点都做一次上述操作，将答案加起来，令 \(t_i\) 表示选择 \(i\) 个的累计答案，则选择 \(i\) 个的实际答案为 \(\frac{t_i}{sz-i}\)，其中 \(sz\) 为无根树大小（假定 \(0^{-1}=1\)）

总时间复杂度 \(O(n^3)\)，存在 \(O(n^2)\) 算法

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) P4128 [SHOI2006] 有色图

设点的置换为 \(p\)，\(p\) 的各个循环长度为 \(a_{1\sim k}\)，其中 \(a\) 单调不降

暴力搜索枚举所有 \(a_{1\sim k}\;((\forall 1\le i<k,a_i\ge a_{i+1}),(\forall 1\le i\le k,a_i\in\mathbb N^*),\sum_{i=1}^k a_i=n)\)（一共不超过 \(10^6\) 种）

对于给定的 \(a_{1\sim k}\)，对应的置换数量为 \(\dfrac{n!}{\prod a_i\prod cnt_x!}\)，其中 \(cnt_x=\sum [a_i=x]\)

根据 \(\text{P\'olya}\) 计数，总方案数为 \(\frac{1}{|G|}\sum_{p\in G} m^{C(p)}\)，当前的一组 \(a_{1\sim k}\) 对应 \(G\) 中 \(\dfrac{n!}{\prod a_i\prod cnt_x!}\) 个元素，所有元素的 \(C(p)\) 相同，因此转化为求当前的 \(a\) 对应的 \(C(p)\)（点置换下边的循环数量）

对于两端不在同一循环中的边，设两端分别在 \(a_i\) 和 \(a_j\) 对应的循环中（\(1\le i<j\le k\)），则这组 \((a_i,a_j)\) 对应的循环长度为 \(\operatorname{lcm}(a_i,a_j)\)，数量为 \(\dfrac{a_ia_j}{\operatorname{lcm}(a_i,a_j)}=\gcd(a_i,a_j)\)

对于两端在同一循环中的边，设在 \(a_i\) 对应循环中，则 \(a_i\) 为奇数时数量为 \(\frac{\binom{a_i}2}{a_i}=\frac{a_i-1}2\)，为偶数时循环节长为 \(\frac{a_i}2\) 的单独计算，数量为 \(\frac{\binom{a_i}2-\frac{a_i}2}{a_i}+1=\frac{a_i}2\)，综上数量为 \(\lfloor\frac{a_i}2\rfloor\)

因此一组 \(a_{1\sim k}\) 的总贡献为

\[\frac{1}{n!}\cdot\frac{n!}{\prod a_i\prod cnt_x!}\cdot m^{^{\sum_{1\le i<j\le k}\gcd(a_i,a_j)+\sum_{i=1}^k \lfloor\frac{a_i}2\rfloor}} \]

总时间复杂度 \(O(p(n))\)，其中 \(p(n)\) 为 \(n\) 的拆分数

代码

参考 1

参考 2

来自璃月的生日礼物

转化为 \((1,0)\) 到 \((m,n-m)\) 的两条不降路径，两者不互相穿越，求方案数

将上方非一条向左上平移，转化为 \((0,1)-(m-1,n-m+1)\) 和 \((1,0)-(m,n-m)\) 的两条不交路径的方案数

使用 \(\text{LGV}\) 引理即可

时间复杂度 \(O(n)\)

可优化至 \(O(\sqrt n\log n)\)

代码

\(\textcolor{black}\odot\) CF708E Student's Camp

常规 \(dp\) 为令 \(dp_{i,l,r}\) 表示第 \(i\) 行的区间为 \([l,r]\) 的方案数，发现状态数无法接受

对于每种可能的最终情况，从第 \(0\) 行出发，能向下则向下，否则向左右移动，直到第 \(n+1\) 行，显然一个状态对应的路径唯一

令 \(lm_{i,j},nm_{i,j},rm_{i,j}\) 表示从第 \(i-1\) 行到第 \(i\) 行时位置在 \((i,j)\)，且在第 \(i-1\) 行中从左向右走 / 不动 / 从右向左走，第 \(1\sim i-1\) 行的状态的概率

令 \(a_{i}=\binom ki p^i (1-p)^{k-i}\) 表示一行中消去长为 \(i\) 的前 / 后缀的概率，\(s_i\) 为 \(a\) 的前缀和

则 \(lm_{1,i}=1\)，转移为

\[lm_{i,j}\gets s_{m-j} \sum_{k=1}^{j-1} lm_{i-1,k}a_{k-1}+nm_{i-1,k}s_{k-1}\\ nm_{i,j}\gets lm_{i-1,j}a_{j-1}s_{m-j}+nm_{i-1,j}s_{j-1}s_{m-j}+rm_{i-1,j}s_{j-1}a_{m-j}\\ rm_{i,j}\gets s_{j-1} \sum_{k=j+1}^m rm_{i-1,k}a_{m-k}+nm_{i-1,k}s_{m-k}\\ \]

答案为 \(\sum_{i=1}^m lm_{n,i}a_{i-1}s_{m-i}+nm_{n,i}s_{i-1}s_{m-i}+rm_{n,i}s_{i-1}a_{m-i}\)

前缀和优化可做到 \(O(nm)\)

代码

参考

QOJ # 9254. Random Variables

枚举 \(1\le k\le n\) 计算众数出现次数 \(\le k\) 的数量，设结果为 \(r_k\) 则答案为 \((n+1)m^n-\sum_{i=1}^n r_i\)

考虑如何计算一个 \(r_k\)

令 \(dp_{i,j}\) 表示放置了 \(i\) 个数，其中 \(j\) 种数字出现次数可以超过 \(k\) 的方案数，则 \(r_k=dp_{n,0}\)，边界为 \(dp_{0,\ast}=1\)

考虑 \(dp_{i,j}\) 的转移，显然第 \(i\) 个数有 \(m-j\) 种选择，转移为 \(dp_{i,j}\gets (m-j)dp_{i-1,j}\)（即没有新增的可以超过 \(k\) 的数字）

当 \(i>k\) 时，需要减去出现超过 \(k+1\) 次的情况，\(dp_{i,j}\gets -(m-j){dp}_{i-k-1,j+1}\binom{i-1}k\)（即减去位置 \(i\) 与前面 \(k\) 个位置值相同的情况）

显然 \(j\le\frac n{k+1}\)，因此单次时间复杂度为 \(O(n\frac nk)\)

总时间复杂度 \(O(\sum n^2\ln n)\)

代码

参考