做题记录 25.3.21

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1983E I Love Balls

有 \(n-k\) 个普通的球，奇数位上的计入 \(\text A\)，偶数位上的计入 \(\text B\)，前者比例为 \(\frac{\lceil\frac{n-k}2\rceil}{n-k}\)，后者比例为 \(\frac{\lfloor\frac{n-k}2\rfloor}{n-k}\)

这 \(n-k\) 个普通球形成 \(n-k+1\) 个空隙，每个特殊球要放入一个空隙，若放入奇数位上的则计入 \(\text A\)，放入偶数位上的计入 \(\text B\)，前者比例为 \(\frac{\lceil\frac{n-k+1}2\rceil}{n-k+1}\)，后者比例为 \(\frac{\lfloor\frac{n-k+1}2\rfloor}{n-k+1}\)

设 \(sx\) 为普通球权值和，\(sy\) 为特殊球权值和，则 \(\text A\) 的期望权值和为 \(\frac{\lceil\frac{n-k}2\rceil}{n-k}sx+\frac{\lceil\frac{n-k+1}2\rceil}{n-k+1}sy\)，\(\text B\) 期望权值和为 \(\frac{\lfloor\frac{n-k}2\rfloor}{n-k}sx+\frac{\lfloor\frac{n-k+1}2\rfloor}{n-k+1}sy\)

时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1984E Shuffle

相当于每次取出一个大小 \(>1\) 的连通块，删掉其中一个点，最大化最终剩下的连通块数量，若第一次选择的为叶子则再加一

显然最终剩下的一定为原树的一个独立集，且可证每个独立集都可通过一定顺序次操作得到

可证一定存在一种最优情况使得第一次选择的为叶子

问题转化为求出树可同时选择一个叶子和其父亲情况下的最大独立集大小

先一次 \(dp\) 求出 \(f_{i,0/1}\) 表示子树 \(i\) 内是否选择 \(i\) 时的最大独立集

然后换根 \(dp\) 求出 \(g_{i,0/1}\) 表示整棵树是否选择 \(i\) 时的最大独立集

答案为 \(\max_{i\in L} g_{i,0}+1\)，其中 \(L\) 为叶子集合

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1982F Sorting Problem Again

假设不完全有序，则左端点为 最大的 \(p\) 满足 \(a_{1\sim p}\) 有序且 \(\forall t>p,a_t\ge a_p\) 加一，可以线段树上二分求出，时间复杂度 \(O(\log n)\)，右端点同理

总时间复杂度 \(O(n+q\log n)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1982E Number of k-good subarrays

数位 \(dp\)

对于给定的 \(k\)，令 \((l,r,rs,L)\) 表示一个区间，左侧 \(l\) 个和右侧 \(r\) 个的 \(\text {popcount}\) 都 \(\le k\)，区间内合法连续段数量为 \(rs\)，区间长度为 \(L\)

区间信息合并是容易的

令 \(dp_{n,k}\) 表示 \([0,2^n)\) 取 \(k\) 时的信息，转移为 \(dp_{n,k}=dp_{n-1,k}+dp_{n-1,k-1}\)，其中 \(+\) 为信息并，注意边界情况

对于一组询问 \((n,k)\)，令 \(n=2^a+2^b+\cdots\)，其中 \(a>b>\cdots\)，则 \([0,n)\) 可拆为 \([0,2^a)\)，\([2^a,2^a+2^b)\)，\(\cdots\)，依次合并 \(dp_{a,k}\)，\(dp_{b,k-1}\)，\(\cdots\) 即可

时间复杂度 \(O(\log^2 V+T\log V)\)

代码