做题记录 25.3.20

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1984F Reconstruction

令 \(b_0=b_{n+1}=0\)，\(s_0=\text P\)，\(s_{n+1}=\text S\)

对于每个 \(1\le i\le n+1\)，设 \(\sum a_i=sm\)

• 若 \(s_{i-1}=\text P,s_i=\text P\)，则要求 \(a_i=b_i-b_{i-1}\in[-m,m]\)
• 若 \(s_{i-1}=\text P,s_i=\text S\)，则要求 \(b_i+b_{i-1}=sm\)
• 若 \(s_{i-1}=\text S,s_i=\text P\)，则要求 \(b_i+b_{i-1}-sm\in[-2m,2m]\)
• 若 \(s_{i-1}=\text S,s_i=\text S\)，则要求 \(a_i=b_{i-1}-b_i\in[-m,m]\)

由于 \(s_0=\text P\)，\(s_{n+1}=\text S\)，对于给定的 \(s_{1\sim n}\) 一定含有 \(\text {PS}\)，即 \(sm\) 一定可以确定

而 \(sm\) 的取值只有 \(b_i+b_{i+1}\;(0\le i\le n)\) 共不超过 \(n+1\) 种（需要去重）

枚举 \(sm\)，分别求出方案数（显然 \(sm\) 不同的方案一定不同）

令 \(f_{i,0}\) 表示 \(s_i\) 取 \(\text P\) 的方案数，\(f_{i,1}\) 表示取 \(\text S\) 的方案数，容易 \(O(n)\) \(dp\) 求出一个 \(sm\) 的贡献

时间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1986G2 Permutation Problem (Hard Version)

令 \(a_i=\frac i{\gcd(i,p_i)}\)，\(b_i=\frac {p_i}{\gcd(i,p_i)}\)，则转化为计算 \(\sum_{1\le i<j\le n}[a_i\mid b_j][b_i\mid a_j]\)

显然

\[\sum_{1\le i<j\le n}[a_i\mid b_j][b_i\mid a_j]=\frac12 \left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[a_i\mid b_j][a_j\mid b_i]-\sum_{i=1}^n[a_i\mid b_i]\right) \]

问题转化为求 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[a_i\mid b_j][a_j\mid b_i]\)

令 \(B(x)=\{b_i\mid a_i=x\}\)，\(A(x)=\{a_i\mid b_i=x\}\)

枚举 \(ai(1\le ai\le n)\)，令 \(cnt_{aj}=\sum_{i}[a_i=ai][aj\mid b_i]\)（每计算一个 \(ai\) 时枚举 \(bi\in B(ai)\)，然后枚举 \(d(d\mid bi)\)，处理完一个 \(ai\) 后清空），枚举 \(bj(ai\mid bj)\)，枚举 \(aj(aj\in A(bj))\)，答案累加 \(cnt_{aj}\)

可证时间复杂度为 \(O(n\ln n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1983F array-value

二分答案，设值为 \(M\)，则转化为查询有多少区间的权值 \(\le M\)

发现若区间 \([l,r]\) 合法则 \([l-1,r]\) 和 \([l,r+1]\) 也合法，因此对于每个右端点求出最大的左端点使得区间合法

设右端点为 \(r\) 时左端点为 \(lp_r\)，则 \(lp_r=\max(lp_{r-1},\max_{l\le r,a_l\oplus a_r\le M} l)\)，其中后一项可以用字典树维护

时间复杂度 \(O(n\log^2 V)\)

代码

参考