做题记录 25.3.17

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1997F Chips on a Line

首先发现每个操作都是可逆的，然后发现对于任意局面都可以先全部移到 \(1\) 位置

对于局面 \(a_{1\sim x}\)，令 \(F_i\) 表示一个 \(i\) 位置的移到 \(1\) 位置后的数量，则最终 \(1\) 位置上的数量为 \(\vec a^T\vec F\)，令其为该局面的值，发现 \(F\) 为斐波那契数列

一个局面的代价为该局面的值拆分为斐波那契数的最小项数，即斐波那契编码中 \(1\) 的数量（不含额外增加的一个）

对于 \(a_{1\sim x}\;(\sum a_i=n)\)，局面的值不超过 \(nF_x\)

对于每个 \(1\le i\le nF_x\)，求出其拆分的最小项数 \(s_i\)，容易 \(O(nF_x\log\log nF_x)\)（二分出拆分最后一项，其中 \(\log nF_x\) 为可能拆出斐波那契数的最大下标）或 \(O(nF_x)\)（双指针）求出

\(dp\) 求出 \(f_i\)，表示值为 \(i\) 的局面数，即把 \(i\) 拆为恰好 \(n\) 个 \(f_{1\sim x}\) 中数的和（可重）非方案数，即完全背包问题，时间复杂度 \(O(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^x iF_j)=O(n^2F_x)\)，空间复杂度 \(O(n^2F_x)\)

则答案为 \(\sum_{i=1}^{nF_x} [c_i=m]f_i\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1995E1 Let Me Teach You a Lesson (Easy Version)

每个 \(i\) 向 \(i+n\) 连无向边，\(2i-1\) 向 \(2i\) 连无向边，可得若干环，显然每个环之间独立

当 \(2\mid n\) 时，共有 \(\frac n2\) 个四元环，第 \(i\) 个四元环为 \((2i-1)-(2i)-(2i+n)-(2i-1+n)\)

要么 \((2i-1,2i)\) 和 \((2i+n,2i-1+n)\) 匹配，要么 \((2i-1,2i+n)\) 和 \((2i,2i-1+n)\) 匹配，两种情况取极差较小的即可

时间复杂度 \(O(n)\)

当 \(2\nmid n\) 时，所有点在同一环上

发现 \(a_{2i-1}+a_{2i}\) 一共只有 \(O(n)\) 种情况，将其排序后双指针（显然区间满足单调性），转化为 \(O(n)\) 个检查 \((mn,mx)\) 是否合法的子问题

将 \(a_1\sim a_{2n}\) 重排为 \(a_1,a_2,a_{n+2},a_{n+3},a_3,a_4,\cdots\)，其中第 \(2i-1\) 个和第 \(2i\) 个为计算 \(\min,\max\) 的一组，第 \(2i-2\) 和第 \(2i\) 个可互相交换，容易通过 \(dp\) 判断其是否合法

时间复杂度 \(O(\sum n^2)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) CF1995E2 Let Me Teach You a Lesson (Hard Version)

将判断中的 \(dp\) 视为 \(n\) 个矩阵相乘的形式（\((|,\&)\) 矩乘），发现修改次数为 \(O(n)\) 的，于是使用线段树维护矩阵之积即可，时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1995D Cases

令 \(T_i=\{s_j\mid i\le j<i+k\}\)，则选出的集合 \(S\) 合法当且仅当 \(s_n\in S\) 且 \(\forall 1\le i\le k,S\cap T_i\ne\mathbb\emptyset\)

令 \(U=\{a,b,c,\cdots\}\)，则 \(S\) 合法等价于 \(S\nsubseteq \complement_U\{s_n\}\) 且 \(S\nsubseteq\complement_U T_i\)

先标记 \(\complement_U \{s_n\}\)，然后对于每个 \(T\) 标记 \(\complement_U T_i\) 的所有子集，最终没有被标记的最小集合大小即为答案

用高位后缀和优化，时间复杂度 \(O(n+c2^c)\)

代码

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\(\textcolor{blue}\odot\) CF1994G Minecraft

对于给定的 \(a_{1\sim n}\) 和 \(s\)，令 \(cnt_x\) 表示第 \(x\) 位为 \(1\) 的 \(a_i\) 数量，则等价于查询是否存在 \(t_{1\sim x}\;(t_i\in\{cnt_i,n-cnt_i\})\)，使得 \(\sum_{i=1}^k2^{i-1}t_i=s\)

直接 \(dp\) 即可，时间复杂度 \(O(\sum nk)\)

代码

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\(\textcolor{blue}\odot\) CF1994F Stardew Valley

在选择所有必经边的基础上决定每条非必经边是否选择，使得在选出的子图上每个点的度数都是偶数

先算出选择必经边后每个点度数的奇偶性

用非必经边建出图，每个连通块分别处理，不在 \(\text{dfs}\) 树上的任意选择，在 \(\text{dfs}\) 树上的边将度数配为偶数

若存在一个连通块的根无法配为偶数则无解

否则用所有选择的边建出图，求出图的欧拉回路即可

时间复杂度 \(O(\sum (n+m))\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1993F2 Dyn-scripted Robot (Hard Version)

令 \((dx_i,dy_i)\) 为 \(i\) 时刻相对于原点的偏移量，则答案为

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=0}^{k-1}[{dx}_n\times j+{dx}_i\equiv 0\pmod {2w}][{dy}_n\times j+{dy}_i\equiv 0\pmod{2h}] \]

令 \(rx=(-dx_i)\bmod 2w\)，则

\[{dx}_n\times j+{dx}_i\equiv 0\pmod {2w}\iff dx_n\times j\equiv rx\pmod{2w} \]

令 \(gx=\gcd(2w,dx_n)\)，则该方程有解当且仅当 \(gx\mid rx\)

令 \(ix=\left(\frac{dx_n}{gx}\right)^{-1}\bmod {\frac {2w}{gx}}\)（通过 \(\text{exgcd}\) 求出），则

\[dx_n\times j\equiv rx\pmod{2w}\iff j\equiv \frac{rx}{gx}\times ix\pmod{\frac{2w}{gx}} \]

令 \(Rx=\frac{rx}{gx}\times ix\)，\(p=\frac{2w}{gx}\)，则转化为

\[j\equiv Rx\pmod p \]

同理对 \({dy}_n\times j+{dy}_i\equiv 0\pmod{2h}\) 进行类似的化简得到

\[j\equiv Ry\pmod q \]

令 \(j=Rx+p\times k_1\)，\(j=Ry+p\times k_2\)，则

\[p\times k_1-q\times k_2=Ry-Rx \]

令 \(d=\gcd(p,q)\)，则该方程有解当且仅当 \(d\mid(Ry-Rx)\)，方程转化为

\[\frac pd\times k_1+\frac qd\times k_2=\frac{Ry-Rx}d \]

求出其一组解 \((x_0,y_0)\)，则

\[j=Rx+p\left(x_0+k\times\frac qd\right)=Rx+px_0+k\times\operatorname{lcm}(p,q)\;(k\in \mathbb Z) \]

令 \(e=\operatorname{lcm}(p,q)\)，\(bs=(Rx+px_0)\bmod e\)，则 \(j=bs+e\times k\;(k\in\mathbb N)\)，若 \(bs<k\) 则令答案累加 \(\lfloor\frac{k-bs-1}e\rfloor\)

时间复杂度 \(O(n\log V)\)

代码

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