做题记录 25.3.16

\(\textcolor{blue}\odot\) CF2002E Cosmic Rays

从左往右扫描，维护一个单调栈，栈中存储若干个二元组 \((t,c)\)，表示一个 \(c\) 颜色的连续段，到 \(t\) 时刻被消除

初始栈为空，要加入一组 \((a_i,b_i)\) 时，若栈非空且栈顶的 \(t\) 不超过 \(a_i\)，则弹栈

弹栈之前需要判断一下，若栈顶下一个连续段的颜色和 \(b_i\) 相同，令栈顶的 \(t\) 为 \(t_1\)，栈顶下一个连续段的 \(t\) 为 \(t_2\)，则在 \(t_1\) 时刻两个同色连续段就可以合并，之后的 \(t_1-t_2\) 个时刻内 \((a_i,b_i)\) 不会变化，即两个连续段合并后 \((a_i,b_i)\) 完全消除的时间增加了 \(t_1-t_2\)，因此令 \(a_i\) 加上 \(t_1-t_2\)

最终把 \((b_i,a_i)\) 压入栈，栈底的 \(t\) 即为当前的答案

时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF2002D2 DFS Checker (Hard Version)

可证 排列 \(p\) 可以成为 \(\text{dfs}\) 序当且仅当 \(\forall 1\le i<n\)，有 \(p_{i+1}\) 在子树 \(fa_{p_{i}}\) 内

因此修改时维护 \(\sum_{i=1}^{n-1}[p_{i+1}\in \text{subtree}(fa_{p_i})]\)，若值为 \(n-1\) 则为 \(\text{dfs}\) 序，反之不是

时间复杂度 \(O(n+q)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF2001E1 Deterministic Heap (Easy Version)

令 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 层，根的值为 \(j\)，且满足要求的堆的数量，\(g_{i,j}\) 表示 \(i\) 层，根的值为 \(j\) 的堆的数量

根据每次一条链加的方式，建出的一定为大根堆，且在该基础上满足任意结点的权值不小于两个儿子权值之和

则转移为

\[f_{i,j}=2\sum_{(x,y)\mid x+y\le j,x>y}f_{i-1,x}g_{i-1,y}\\ g_{i,j}=2\sum_{(x,y)\mid x+y\le j}g_{i-1,x}g_{i-1,y} \]

可预处理前缀和优化到 \(O(nm^2)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1998E2 Eliminating Balls With Merging (Hard Version)

令 \([L_i,R_i]\) 为满足 \(a_i\) 为最大值的极大区间

从大到小（值从大到小）考虑每个位置 \(i\)，求出该位置能贡献到的右端点的区间 \([rL_i,rR_i]\)（显然贡献到的右端点一定为区间），得到 \(rL,rR\) 后容易计算答案数组

显然 \([rL_i,rR_i]\subseteq[i,n]\)

若右端点为 \(rp\)，则从 \(i\) 开始的最优决策是先把 \([L_i,\min(rp,R_i)]\) 内的合并，若此时值 \(\ge a_{L_{i}-1}\) 且 \(a_{L_{i}-1}\) 在 \(rp\) 下合法，或值 \(\ge a_{R_{i}+1}\) 且 \(a_{R_{i}+1}\) 合法，则 \(i\) 在 \(rp\) 处合法（这也是为什么要按值从小到大做）

先考虑 \(a_{L_{i}-1}\)

当 \(L_i=1\)（即 \(a_i\) 为前缀最大值），则右端点取 \([i,R_i]\) 时 \(a_i\) 为全局最大值，可得 \([rL_i,rR_i]\supseteq ([i,n]\cap [i,R_i])\)（即令答案区间并上 \([i,n]\cap [i,R_i]\)）

否则 \(a_{L_{i}-1}\) 存在，若 \(\sum_{j=L_{i}}^{i}a_j\ge a_{L_i-1}\)，则从 \(i\) 开始向左合并到 \(a_{L_i-1}\) 为止，右端点在 \(L_i-1\) 对应的取值范围中是 \(a_{L_i-1}\) 可行，\(a_i\) 可行，可得 \([rL_i,rR_i]\supseteq ([i,n]\cap [rL_{L_i-1},rR_{L_i-1}])\)

若 \(\sum_{j=L_{i}}^{i}a_j< a_{L_i-1}\)，则还要向右合并一段后才能合并 \(a_{L_i-1}\)，则二分出最小的 \(m\in(i,R_i]\) 使得 \(\sum_{j=L_i}^m a_j\ge a_{L_i-1}\)，可得 \([rL_i,rR_i]\supseteq ([i,n]\cap [rL_{L_i-1},rR_{L_i-1}]\cap[m,n])\)

然后考虑 \(a_{R_i+1}\)

当 \(R_i=n\) 时显然没有合法右端点，当 \(R_i<n\) 时，若 \(\sum_{j=L_i}^{R_i}a_j\ge a_{R_i+1}\) 则可向右合并，\(a_i\) 合法要求右端点不小于 \(R_i+1\)，且 \(a_{R_i+1}\) 合法，即 \([rL_i,rR_i]\supseteq([R_i+1,n]\cap[rL_{R_i+1},rR_{R_i+1}])\)

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

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