Border 理论
定义
若 \(S'\) 同时为 \(S\) 的前缀和后缀，且 \(S'\ne [\mathbb\emptyset],S'\ne S\)，则 \(S'\) 为 \(S\) 的 \(\text{Border}\)（\(\text{Border}\) 为一个字符串，但有时也指代其长度）
令 \(\mathcal B(S)\) 为 \(S\) 的 \(\text{Border}\) 集合
对于 \(k\in\mathbb N,k<|S|\)，若 \(\forall i>k,S_i=S_{i-k}\)，则 \(k\) 为 \(S\) 的周期（\(\operatorname{Period}\)）（周期为正整数）。若 \(k\) 为 \(|S|\) 的因数，则 \(k\) 为 \(S\) 的整周期
令 \(\mathcal P(S)\) 为 \(S\) 的周期集合
定理 1：若 \(t\) 为 \(S\) 最长 \(\text{Border}\)，则 \(\mathcal B(S)=\mathcal B(t)\cup\{t\}\)
定理 2：\(t\in\mathcal B(S)\iff |S|-|t|\in \mathcal P(S)\)
前缀数组
定义
对于 \(S\)，令 \(n=|S|\)，定义其前缀数组 \(\pi_i\) 为 \(\operatorname{prf}(S,i)\) 的最长 \(\text{Border}\) 长度
也称为前缀函数
模板
// 前缀函数
template <typename value_t, typename output_iter_t, ass_is_RAI(output_iter_t)>
void prefix_function(const basic_string<value_t> &s, output_iter_t pi){//[0,pi_i)=[i-pi_i,i)
if (s.empty())return;
size_t n = s.size();
*pi = 0;
for (size_t i = 1, j = 0; i != n; ++i){
while (j && s[i] != s[j])j = pi[j - 1];
if (s[i] == s[j])++j;
pi[i] = j;
}
}
时间复杂度 \(O(n)\)
KMP 算法
全称为 \(\text{Knuth–Morris–Pratt}\) 算法，是一种单模式串字符串匹配算法
模板：
// KMP 算法
template <typename value_t, typename output_iter_t, ass_is_RAI(output_iter_t)>
vector<size_t> kmp(const basic_string<value_t> &text, const basic_string<value_t> &pat, output_iter_t pi){//返回匹配位置
if (text.size() < pat.size())return {};
if (text.size() == pat.size()){if (text == pat)return {0};return {};}
if (pat.empty())return {};
prefix_function(pat, pi);
size_t n = text.size(), m = pat.size();
vector<size_t> ret;
for (size_t i = 0, j = 0; i != n; ++i){
while (j && text[i] != pat[j])j = pi[j - 1];
if (text[i] == pat[j])++j;//[i-m+1,i]=[0,j)
if (j == m)ret.emplace_back(i - m + 1), j = pi[j];
}
return ret;
}
时间复杂度 \(O(n+m)\)
失配树
建立 \(n+1\) 个点，编号 \(0\sim n\)，依次表示长为 \(n\) 的字符串 \(S\) 的每个前缀
对于 \(1\le i\le n\)，\(i\) 向 \(\pi_i\) 连有向边，则构成一棵以 \(0\) 为根的内向树，称为失配树
对于 \(S\) 的每个前缀，其 \(\text{Border}\) 集合为它在树上所有非根祖先（不含自身）
例：CF1286E Fedya the Potter Strikes Back
给定 \(s_{1\sim n}\) 和 \(w_{1\sim n}\)，对于每个 \(1\le i\le n\)，求出 \(\sum_{s[L:R]=s[1,R-L+1],R\le i}\min_{j=L}^R w_j\)，强制在线（即每次只给出一组 \((s_i,w_i)\)），\(n\le6\times10^5\)
显然长度为 \(i\) 时的答案等于长度 \(i-1\) 时的答案 加上 \(\sum_{s[L:i]=s[1,i-L+1]}\min_{i=L}^i w_i\)，考虑计算之
这等于 \(\sum_{s'\in\mathcal B(\operatorname{prf}(s,i))}\min_{k=i-|s'|+1}^i w_k\)
令 \(\min_{k=a}^i w_k=Sw(a)\)，使用单调栈 或 \(\operatorname{ST}\) 表 维护之，做到 \(O(\log n)\)（单调栈上二分）或 \(O(1)\)（\(\operatorname{ST}\) 表）查询
转化为求解 \(\sum_{s'\in\mathcal B(\operatorname{prf}(s,i))}Sw(i-|s'|+1)\)
令 \(Bp(S,i)=\{i-|s'|+1\mid s'\in \mathcal B(S)\}\)
则转化为求 \(\sum_{l\in Bp(\operatorname{prf}(s,i))}Sw(l)\)
考虑维护集合 \(R^\ast =\{Sw(l)\mid l\in Bp(\operatorname{prf}(s,i))\}\)
先考虑从 \(Bp(\operatorname{prf}(s,i-1))\) 到 \(Bp(\operatorname{prf}(s,i))\) 的变化
若 \(s_i=s_1\)，则 \(Bp(\operatorname{prf}(s,i))\) 会在 \(Bp(\operatorname{prf}(s,i-1))\) 的基础上加入 \(i\)（显然加入 \(R^\ast\) 的最多只有这一个）
然后从中删去不再合法的部分，即集合 \(Bp(\operatorname{prf}(s,i-1))-Bp(\operatorname{prf}(s,i))\)
\(l\in (Bp(\operatorname{prf}(s,i-1))-Bp(\operatorname{prf}(s,i)))\) 等价于 \(s_i\ne s_{i-l+1}\)，因此问题转化为快速求出所有满足 \(s_i\ne s_{i-l+1}\) 的 \(l\)
维护数组 \(fadf_i\)，表示最大的 \(l\) 使得 \(s_{l+1}\ne s_{i+1}\)，且 \(l\in\mathcal B(i)\)
显然得到 \(s_i\) 后可以 \(O(1)\) 求出 \(fadf_{i-1}\)，且 \(fadf_1\sim fadf_{i-2}\) 不再改变
令 \(pi_i\) 为 \(s\) 的前缀数组
\(j\) 从 \(i-1\) 开始，若 \(s_{j+1}\ne s_i\) 则 \(l=j+1\) 为满足 \(s_i\ne s_{i-l+1}\) 的 \(l\)，此时令 \(j\) 跳到 \(fadf_j\)；否则令 \(j\) 跳到 \(pi_j\)
这样可以均摊 \(O(1)\) 找到所有满足要求的 \(l\)
此时已经可以在可接受复杂度内维护 \(Bp(\operatorname{prf}(s,i))\) 了，考虑如何维护 \(\sum_{l\in Bp(\operatorname{prf}(s,i))}Sw(l)\)，这等价于维护 \(R^\ast\) 的元素和
对于集合 \(Bp(\operatorname{prf}(s,i))\)，操作只有加入和删除两种，因此 \(R^\ast\) 需要支持插入、删除、对给定数取 \(\min\)，查询总和，可以用 std::map 均摊 \(O(\log n)\) 维护上述操作
总时间复杂度 \(O(n\log n)\)
弱周期引理 与 周期引理
弱周期引理：
定理 3：若 \(t\) 是 \(s\) 的前缀，且 \(a\in \mathcal P(s), b\in\mathcal P(t), b\mid a, |t|\ge a\)，且 \(b\) 是 \(t\) 的整周期，则有 \(b \in \mathcal{P}(s)\)
周期引理
其他常用定理
定理 4：若 \(s\) 在 \(t\) 中匹配了多次，且 \(|t|\ge \frac{|s|}2\)，则每次匹配的位置形成一个公差为 \(s\) 的最小周期长度的等差数列
例：CF1038F Wrap Around
给定 \(0/1\) 字符串 \(s\)，求有多少长为 \(n\) 的字符串 \(t\)，满足 \(t^{\infty}\)（表示以 \(t\) 为循环节的无限循环字符串）包含 \(s\)，\(|s|\le n\le40\)，加强到 \(4000\)
由于 \(|s|\le n\)，显然 \(s\) 为 \(t\) 的子串，或 \(s\) 的前缀为 \(t\) 的后缀且 \(s\) 剩余部分为 \(t\) 的前缀
对于某个 \(t\)，若令 \(f_i\) 表示 \(t\) 从 \(i\) 开始长为 \(|s|\) 的子串（超过 \(m\) 则从头开始）是否与 \(s\) 相同，则 \(t\) 合法等价于 \(f\) 中至少有一个 \(1\)
考虑容斥，令 \(p_x=\sum_{|S|=x}|\{f|\forall i\in S,f_i=1\}|\)，则答案为 \(\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}p_i\)
若一个 \(t\) 合法，则其所有循环同构串都合法，因此只统计 \(f_1=1\) 的 \(t\) 以避免重复
一个 \(f_1=1\) 的 \(t\) 对应 \(n-y+1\) 个合法的 \(t\)，其中 \(y\) 为最后一个 \(f_i=1\) 的 \(i\)
令 \(dp_{i,j,k}\) 为当前填到 \(t_i\)，\(1\sim i\) 中 \(f_i\) 最后一个为 \(1\) 的位置为 \(j\)，\(f_i\) 中 \(1\) 的数量至少为 \(k\)
令 \(g_i\) 表示 \(s\) 是否有长为 \(m-i\) 的 \(\text{Border}\)
若令 \(f_i=1\)，则 \(dp_{i-1,x,k-1}\rightarrow dp_{i,i,k}\)。此时若有 \(x+m<i\)，则要求 \(s\) 有长 \(m-(i-x)\) 的 \(\text{border}\)，否则会与之前填的矛盾；若有 \(i+m-1>n\)，则要求 \(s\) 有长为 \(m-(n-i+1)\) 的 \(\text{border}\)，否则会和前缀的 \(f\) 矛盾
若令 \(f_i=0\)，则有两种情况：
- 若 \(i<x+m\)，则当前位置的 \(t\) 被最后一个 \(f\) 限制，只有一种取值，\(f_{i-1,x,k}\rightarrow f_{i,x,k}\)
- 否则可以填 \(0/1\)（由于 \(dp\) 值的定义为至少，因此这里不用考虑新产生 \(f_i=1\) 的情况），\(2f_{i-1,x,k}\rightarrow f_{i,x,k}\)
时间复杂度 \(O(n^3)\)
发现最后一维 \(k\) 在容斥中只需要其奇偶性，因此 \(k\) 可以只取 \(0/1\)，时间复杂度降为 \(O(n^2)\)。\(dp\) 第一维可以滚动数组优化，空间复杂度 \(O(n)\)
定理 5：字符串 \(s\) 所有长度不小于 \(\frac{|s|}2\) 的 \(\text{Border}\) 长度构成等差数列
定理 6：字符串所有 \(\text{Border}\) 长度排序后可以划分成 \(\lceil\log_2|s|\rceil\) 个连续段，使得每段都为等差数列
例：P4156 [WC2016] 论战捆竹竿
给定长为 \(n\) 的字符串 \(s\)，定义拼接为将一个 \(s\) 的后缀（可以为全部）接在另一个 \(s\) 之后，满足前者剩余的前缀为后者的后缀，求将若干 \(s\) 拼接后可以到达的不超过 \(w\) 的长度数量，\(w\le10^{18},n\le5\times10^5\)，多测 \(T\le5\)
令 \(a_{1\sim ct}\) 为 \(\mathcal P(s)\) 从小到大排序的结果，则题目等价于求 \([0,w-n]\) 中可以表示为 \(\sum_{i=1}^{ct} a_i x_i\) 的数量，其中 \(x_i\in\mathbb N\)
按一般的同余最短路，定义 \(f_i\;(0\le i< a_1)\) 为走到任意 \(\bmod a_1=i\) 的位置经过的最小长度，则答案为
按这样直接计算为 \(O(n\cdot ct\cdot \log n)=O(n^2\log n)\) 的
用 \((F,D,C)\) 表示首项为 \(F\)，公差为 \(D\)，末项为 \(F+DC\) 的等差数列
\(a\) 可以划分为 \(O(\log n)\) 个连续等差子段
则原题可以转化为两个子问题：
- 在 \(O(n)\) 内用一个等差数列 \((F,D,C)\) 跟新 \(f\)（\(f\) 的模数为 \(F\)）
- 在 \(O(n)\) 内转换 \(f\) 的模数
对于第一个问题，可以列出转移方程（其中 \(f'\) 为旧 \(f\) 数组）：
直接计算时间复杂度为 \(O(F\cdot C)\)
发现 \([0,F)\) 内的不同模 \(\gcd(F,D)\) 同余类之间不存在转移，因此分别考虑，以下只考虑其中一个同余类
令 \(p\) 为当前同余类中 \(f'\) 最小值的下标
显然在上述转移过程中，\(f_p=f'_p\)，且不存在跨越 \(p\) 的最优跟新（跨越 \(p\) 定义为 \(j<p<i\)，或 \(p<i<j\)，或 \(i<j<p\)）（\(j\) 跟新 \(i\) 定义为 \(j\) 使 \(f_i\) 的值严格变小）（若存在跨越的，则令 \(j=p\)，一定不劣于跨越的 \(j\)）
因此从 \(p\) 开始处理这个同余类
此时转移方程变为滑动窗口的形式，单调队列解决即可
对于第二个问题，设 \(f'\) 为模数跟新为 \(NewMd\) 后的 \(f\) 数组，\(f\) 为未跟新时的数组，\(Nwmd\) 为跟新前模数，则
同样各个模 \(\gcd(Nwmd,NewMd)\) 同余类分开处理
形式类似第一个问题的 \(dp\)，但滑动窗口变为前缀，直接计算即可
时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)，常数极大
代码（其中的 \(hash\) 判断是为了过 \(\text{UOJ}\) 的 \(\text {Extra Test}\)）
定理 7：回文串的回文前 / 后缀即为其 \(\text{Border}\)
由此可推出一个字符串所有 \(\text{Border}\) 按长度从大到小排序，其中回文的恰好为一个可空后缀，即 \(fail\) 树上回文的串为包含根的连通块或不存在
定理 8：若回文串 \(S\) 有周期 \(p\)，则可以把 \(\operatorname{prf}(S,p)\) 划分成长度为 \(|S|\bmod p\) 的前缀和长度为 \(p-|S|\bmod p\) 的后缀，使得它们都是回文串
定理 9：若 \(B\) 是回文串 \(S\) 的最长 \(\text{Border}\) 且 \(|B| \ge \frac{|S|}{2}\)，则 \(B\) 在 \(S\) 中恰能匹配 \(2\) 次
重要后缀（Significant Suffixes）
令 \(\operatorname{Ssf}(S)\) 为在 \(S\) 后接一个字符串（可以为空）后可能成为 \(S\) 的最小后缀的后缀集合
定理 10：对于任意字符串 \(S\) 及 \(u, v\in \text{Ssf}(S),|u|<|v|\)，有 \(u\) 是 \(v\) 的 \(\text{Border}\)
定理 11：对于任意字符串 \(S\) 及 \(u, v\in\text{Ssf}(S),|u|<|v|\)，有 \(2|u|\le|v|\)
定理 12：\(|\text{Ssf}(s)| \le \log_2|s|\)
例：P5211 [ZJOI2017] 字符串
长为 \(n\) 的序列，\(q\) 次操作，区间加减或区间查询字典序最小后缀起始位置（仅保留该区间的情况下），\(n\le2\times10^5,q\le3\times10^4\)
线段树维护序列，每个节点保存对应区间内的 \(\text{Ssf}\) 集合
可证父区间的 \(\text{Ssf}\) 一定为两子区间的 \(\text{Ssf}\) 的并的子集
因此合并区间时，暴力枚举儿子的每个后缀，判断是否是父亲的 \(\text{Ssf}\) 即可
需要使用分块哈希的方式维护原串，做到单次 \(O(1)\) 比较后缀
时间复杂度 \(O(n\log^2 n+m\log^3 n+m\sqrt n)\)
浙公网安备 33010602011771号