斜率优化 dp

问题一般形式

给定 \(a_{1\sim n},b_{1\sim n},c_{1\sim n},L_{1\sim n},R_{1\sim n}\)，求出

\[f_i=a_i+\min_{L_i\le j\le R_i}g(j)+b_jc_i \]

或

\[f_i=a_i+\max_{L_i\le j\le R_i}g(j)+b_jc_i \]

其中 \(g(i)\) 的计算依赖 \(f_i\) 时需要满足 \(R_i<i\)（否则依赖成环）

需要满足 \(L_i\) 和 \(R_i\) 单调不降

后一种形式显然可以通过将 \(a,g,b\) 取为相反数转化为第一种形式（当然还有其他方法），因此只考虑第一种形式

以下假定 \([L_0,R_0]\) 为一个空区间（取值任意）

转化

可以转化为有 \(n\) 条直线 \(y=b_i\,x+g(i)\)，对于每个 \(i\)，求出 直线 \(x=c_i\) 与第 \(L_i\) 到第 \(R_i\) 条直线的交点的 \(y\) 坐标的最小值

\(c_i\) 单调不降，\(b_i\) 单调不升

维护一个直线的双端队列，从左到右直线的斜率严格递减，交点 \(x\) 坐标递增（即一个凸包）

若要将直线 \(s_i\) 从右侧加入队列：

• 当队列为空时直接加入并结束
• 否则设最右侧一条直线为 \(s_r\)
• 显然 \(s_i\) 斜率不大于 \(s_r\) 斜率
• 若 \(s_i\) 斜率等于 \(s_r\)
  • 若 \(s_i\) 截距较小，则弹出 \(s_r\) 并继续判断下一条直线
  • 否则 \(s_i\) 无法加入队列，结束
• 否则 \(s_i\) 斜率小于 \(s_r\)
• 若队列大小为一则直接加入并结束
• 否则设右侧第二条直线为 \(s_l\)
• 若 \(s_i\) 和 \(s_r\) 交点在 \(s_l\) 和 \(s_r\) 交点右侧，则直接加入并结束
• 否则弹出 \(s_r\) 并继续判断下一条直线

先将 \((R_{i-1},R_i]\) 的直线从右侧加入队列，然后从左侧弹出直线（编号小于 \(L_i\) 时弹出；当队列大小不小于 \(2\) 且 最左侧两条直线交点的横坐标小于 \(c_i\) 时弹出）直到不满足要求（显然 \([L_i,R_i]\) 不为空时不会弹空）

此时从队首转移一定最优

总时间复杂度 \(O(n)\)，计算交点时需要注意精度问题（不建议使用浮点数，下同）

\(b_i\) 单调不升

在 \(L_i,R_i,c_i\) 单调不降，\(b_i\) 单调不升 的基础上，删去左侧弹出直线时的第二种条件，转移改为“在队列上二分出第一条 与下一条直线的交点的横坐标（不存在则为 \(\infty\)）大于 \(c_i\) 的直线，由其转移过来”

总时间复杂度 \(O(n\log n)\)

\(L_i=1\)

可以使用 std::set 维护凸包，时间复杂度 \(O(n\log n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。细节较多

也可以使用李超树，时间复杂度 \(O(n\log \max c_i)\)，\(\max c_i=O(n)\) 时空间复杂度 \(O(n)\)，否则空间复杂度 \(O(n\log \max c_i)\)（动态开点）。实现相对容易

或者使用 \(\operatorname{CDQ}\) 分治，转化为求出 \([l,M]\) 内的 \(g(i)\) 对 \((M,r]\) 的 \(f_i\) 的贡献：先求出 \([l,M]\) 的凸包，然后将 \((M,r]\) 内的 \(f_i\) 按 \(c_i\) 排序（可每次归并两个子区间将这部分做到线性），转化为 \(c_i\) 单调不降，\(b_i\) 单调不升 的形式，总时间复杂度 \(O(n\log n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)