做题记录 25.2.17

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc045_b [AGC045B] 01 Unbalanced

\(0\) 视为 \(-1\)，\(1\) 视为 \(+1\)，则不平衡度为前缀和的极差

二分答案 \(Rs\)

判定时从左往右扫描，维护区间 \([L,R]\)，表示当前前缀和可以到达的范围，\(L\) 和 \(R\) 奇偶性相同，枚举奇偶性

初始令 \(L\) 为 \([0,1]\) 中符合奇偶性的，令 \(R\) 为 \([Rs-1,Rs]\) 中符合奇偶性的

若扫到 \(1\) 则两个端点加一，若扫到 \(0\) 则两个端点减一，若为 \(?\) 则 \(L\) 减一 \(R\) 加一

若 \(L\) 和 \(R\) 超出范围则 \(\pm 2\) 以保证奇偶性

若某时刻 \(L>R\) 则当前奇偶性不合法

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc050_a [AGC050A] AtCoder Jumper

节点 \(x\) 连向 \(2x\) 和 \(2x+1\)，下标取模映射到 \([1,n]\)

这样从 \(p\) 开始移动不超过 \(k\) 次可以到 \([2^kp,2^k(p+1))\)，下标取模，显然当 \(2^k\ge n\) 时即可覆盖整个区间，因此最多移动次数不超过 \(\lceil\log_2(n)\rceil\)，当 \(n\le 1000\) 时步数不超过 \(10\)，满足要求

时间复杂度 \(O(n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc045_c [AGC045C] Range Set

显然交换 \(a\) 和 \(b\) 不改变答案，因此假设 \(a\ge b\)

则某个字符串合法当且仅当其存在一个长度不小于 \(a\) 的子段，段内每个极长 \(1\) 连续段的长度都不小于 \(b\)

令 \({dp}_{0/1,i,j}\) 表示当前填了 \(1\sim i\)，最后一个位置为 \(0/1\)，且区间 \((j,i]\) 内每个极长 \(1\) 连续段的长度都不小于 \(b\)（要求 \(j\) 为满足要求的情况下的最小值）

边界为 \(dp_{0/1,0,0}=1\)

答案为 \(\sum_{1\le i\le n}\sum_{0\le j\le i-b}2^{\max(0,n-i-1)}{dp}_{0/1,i,j}\)（计入答案的 \(dp\) 不再向后转移，即计入答案后就将其清空）

转移为

\[{dp}_{1,i,i}\gets\sum_{l=1}^{\min(i,b-1)}\sum_j {dp}_{0,i-l,j}\\ {dp}_{1,i,j}\gets\sum_{l=b}^i {dp}_{0,i-l,j}\\ {dp}_{0,i,j}\gets\sum_{l=1}^i {dp}_{1,i-l,j}\\ \]

显然可以前缀和优化到 \(O(n^2)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc041_d [AGC041D] Problem Scores

由于 \(a\) 单调，因此最后一个限制不强于对于每个 \(k<n\)，有 \(a\) 的前 \(k+1\) 个数之和 大于 后 \(k\) 个数之和，而该限制不强于 \(a\) 的前 \(\lfloor\frac n2\rfloor+1\) 个数之和 大于 后 \(\lfloor\frac n2\rfloor\) 个数之和

令 \(T\) 为 \(a\) 的前 \(\lfloor\frac n2\rfloor+1\) 个数之和 减去 后 \(\lfloor\frac n2\rfloor\) 个数之和

考虑先令 \(a_i\gets n\)，然后每次令一个前缀减一，并考虑其对 \(T\) 的影响

初始时 \(T=n\)

若选择前缀 \(p\;(p\le k)\)，则 \(T\) 减少 \(p\)

若选择前缀 \(p\;(p>k)\)，则 \(T\) 减少 \(k+1-(p-(n-k))=n-p+1\)

令 \(w_i\) 表示选择前缀 \(i\) 的代价，则每次操作相当于令 \(T\) 减去某个 \(w_i\)，保持 \(T>0\)

这等价于对 \(w\) 做容量为 \(n-1\) 的完全背包的方案数

时间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc050_c [AGC050C] Block Game

假如序列确定，则第一个 \(B\) 之前的部分没用，遇到第一个 \(B\) 时会在当前位置的相邻格子中任意选择一个放置，之后 \(S\) 会尽量向另一侧移动，第二个 \(B\) 会在另一侧，这样两个 \(B\) 将可达位置限定为一个区间，每次 \(S\) 方尽量走到中点，\(B\) 方尽量令划分剩下的部分最小

BSSBSBSB

#.
# .
#  .
#  .#
# . #
##. #
## .#
###.#

直接这么做状态数过多，考虑逆向扫描并计算对方胜利的方案数

逆向第一个 \(B\) 之后必须要有至少 \(1\) 个 \(S\)，第二个之后必须要有至少 \(2\) 个，第三个之后必须要有至少 \(4\) 个，以此类推

令 \(dp_{i,j}\) 表示 \(i\sim n\) 中有 \(j\) 个 \(B\) 情况下对方胜利的方案数

初始 \(dp_{n+1,0}=1\)

若 \(i\) 位置可以为 \(S\)，则 \(dp_{i,j}\gets dp_{i+1,j}\)

若 \(i\) 位置可以为 \(B\)，则 \(dp_{i,j}\gets dp_{\min(n+1,i+2^{j-2}+1)}[\nexists i+1\le x\le i+2^{j-2}(s_x='B')]\)，其中后面的条件容易通过预处理 \(O(1)\) 计算

\(j\le \lceil\log_2(n)\rceil\)，否则 \(dp_{i,j}=0\)，因此时间复杂度为 \(O(n\log n)\)

代码

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\(\textcolor{purple}\odot\) AT_agc050_d [AGC050D] Shopping

每次将已经获得商品的删去

令 \(dp_{l,r,i,j}\) 表示当前关注的人左侧还剩 \(l\) 人，右侧还剩 \(r\) 人，目前是第 \(j\) 轮（所有人来一遍为一轮），目前回合是剩下的人中第 \(i\) 个

则要求的是 \(dp_{i-1,n-i,1,1}\;(1\le i\le n)\)

令 \(m=l+r+1\) 表示剩余人数

当 \(j>k\) 时，剩下的人把所有的商品都问了一遍，此时游戏结束，贡献为 \(0\)，因此此时值为 \(0\)

当 \(n-m\ge k\) 时，所有商品都取走了，同样游戏结束，值为 \(0\)

否则令 \(p=\frac{k-(n-m)}{k-j+1}\)，表示当前决策的人取到商品的概率

若 \(i=l+1\)，则决策的人为当前关注的人，有 \(p\) 的概率贡献为 \(1\)，剩余 \(1-p\) 的概率贡献为 \(dp_{l,r,i+1,j}\)（若 \(r=0\) 则为 \(dp_{l,r,1,j+1}\)）

若 \(i<l+1\)，同理得 \(p\) 的概率贡献为 \(dp_{l-1,r,i,j}\)，\(1-p\) 的概率贡献为 \(dp_{l,r,i+1,j}\)

否则 \(i>l+1\)，\(p\) 的概率贡献为 \(dp_{l,r-1,i,j}\)（\(i=m\) 则为 \(dp_{l,r-1,1,j+1}\)），\(1-p\) 的概率贡献为 \(dp_{l,r,i+1,j}\)（\(i=m\) 则为 \(dp_{l,r,1,j+1}\)）

建议使用记忆化搜索，时间复杂度 \(O(n^4)\)

代码

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