做题记录 25.2.3

\(\textcolor{purple}\odot\) [ABC329G] Delivery on Tree

以下默认 \(l=\operatorname{lca}(s,t)\)，令 \([u\to v)\) 表示 \(u\) 到 \(v\) 的有向路径上的节点，含 \(u\) 但不含 \(v\)，\((u\to v)\) 同理

显然要求遍历过程为 \(dfs\)

因为为二叉树，每个节点儿子至多两个，因此只要对于两个儿子的节点决策两个儿子遍历的顺序即可

对于一条路径 \(s\to t\)，若 \(l\ne s\) 且 \(l\ne t\)，令 \(ls\) 为 \(l\) 的 \(s\) 方向上的儿子，\(lt\) 为 \(t\) 方向上的儿子，则由于 \(s\) 必须在 \(t\) 的前面访问，对于节点 \(l\) 这相当于强制令 \(ls\) 在 \(lt\) 之前遍历，以下称此为一条 限制

若存在两条限制互相冲突，则显然答案为 \(0\)

先考虑最优情况，即每个球在起点处拿起后直达终点，中间没有绕路

令 \(L^{\uparrow}_u\) 表示所有给定的有向路径中，包含有向边 \(u\to fa_u\) 的数量，\(L^{\downarrow}_u\) 表示包含 \(u\gets fa_u\) 的数量，\(u=1\) 时两者为 \(0\)

则对于每条路径 \(s\to t\)，会令 \([s\to l)\) 所有点的 \(L^{\uparrow}_\ast\) 加一，令 \([t\to l)\) 所有点的 \(L^{\downarrow}_\ast\) 加一

容易树上差分 \(O(m\log n+n)\) 求出所有 \(L^{\uparrow}_\ast\) 和 \(L^{\downarrow}_\ast\)，其中 \(O(\log n)\) 为求 \(\operatorname{lca}\) 的时间复杂度

令 \(L_u=\max(L^{\uparrow}_u,L^{\downarrow}_u)\)，则若存在一个 \(L_u>k\)，答案一定为 \(0\)

然后考虑绕路的影响

对于一条路径 \(s\to t\)

对于 \((s\to l)\) 中某一点 \(p\)，设其在路径 \(s\to l\) 中上一个点为 \(u\)，则 \(u\) 为 \(p\) 的某个儿子

假定 \(p\) 有两个儿子（否则忽略这个 \(p\)），其另一个儿子为 \(v\)

若最终方案中 \(dfn_u<dfn_v\)，从 \(s\) 到 \(t\) 的过程中必然会经过子树 \(v\) 中所有点和边（包含边 \(v-p\)），即对于每个 \(x\in subtree(v)\)，\(L^{\uparrow}_x\) 和 \(L^{\downarrow}_x\) 都加一，等价于 \(L_x\) 加一

令 \(c^{\uparrow}_u\) 表示若 \(dfn_u<dfn_v\)，子树 \(v\) 内 \(L_\ast\) 的增加量，其中 \(v\) 为 \(u\) 的兄弟（若不存在，则 \(c^{\uparrow}_u=0\)）

若 \(s\ne l\)，令 \(pr\) 为 \(s\to l\) 上 \(l\) 之前的点，则该路径会令 \([s\to pr)\) 的 \(c^{\uparrow}_\ast\) 加一

类似地定义 \(c^{\downarrow}_u\)，表示若 \(dfn_u>dfn_v\)（与 \(c^{\uparrow}_u\) 相比仅有此处 符号不同），子树 \(v\) 内 \(L_\ast\) 的增加量，其中 \(v\) 为 \(u\) 的兄弟（若不存在，则 \(c^{\downarrow}_u=0\)）

此时若 \(t\ne l\)，令 \(sf\) 为 \(l\to t\) 上 \(l\) 下一个点，该路径会使 \([t\to sf)\) 的 \(c^{\downarrow}_\ast\) 加一

两者同样使用树上差分求出

预处理的总时间复杂度为 \(O(m\log n+n)\)

接下来为 \(dp\)

令 \(dp_{i,j}\) 表示子树 \(i\) 中，令子树中点的 \(L_\ast\) 的最大值为 \(j\) 的方案数，则最终答案为 \(\sum_{0\le j\le k} dp_{1,j}\)

对于叶子节点 \(i\)，显然 \(dp_{i,L_i}=1\)，其余为 \(0\)

对于只有一个儿子 \(u\) 的节点 \(i\)，显然只要考虑 \(i\to fa_i\) 的影响即可，对于所有 \(0\le j\le k\)，令 \(f_{i,\max(j,L_i)}\gets f_{u,j}\)

对于有两个儿子 \(u,v\) 的节点 \(i\)，计算 \(dfn_u<dfn_v\) 的情况（大于的情况交换两者即可，注意判断是否满足之前的限制），转移为

\[\large f_{i,\max(L_i,j+c^{\downarrow}_v,l+c^{\uparrow}_u)}\gets f_{u,j} f_{v,l} \]

暴力实现为 \(O(nk^2)\) 的，无法承受

分别考虑 \(j+c^{\downarrow}_v\le l+c^{\uparrow}_u\) 和 \(j+c^{\downarrow}_v> l+c^{\uparrow}_u\) 的情况，分别前缀和优化即可到 \(O(nk)\)

总时间复杂度 \(O(nk+m\log n)\)

代码

参考