做题记录 25.1.30

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1422F Boring Queries

即静态强制在线区间 \(\operatorname{lcm}\)

考虑根号分治

令 \(V\) 为 \(a\) 数组最大值

对于 \(\le V\) 的质因子，可以为每个质数分别建立一个 \(ST\) 表，保存区间该质数幂次最大值，通过预处理质因子的次幂，可以 \(O(1)\) 处理一个质因子，可以将 \(ST\) 表用 uint8_t 存储以压缩空间

这部分时间复杂度 \(O\left(\frac{\sqrt V}{\ln V}\cdot (n\log n+q)\right)=O\left(n\sqrt V+\frac{q\sqrt V}{\ln V}\right)\)

对于 \(>V\) 的质因子，每个 \(a_i\) 至多包含一个，令所有 \(a_i\) 都除净 \(V\) 以内的质因子，则转化为查询区间中所有出现过的数之积，转化为类似二维数点的问题后可持久化线段树解决即可

这部分时间复杂度 \(O(n\sqrt V+n\log n+q\log n)\)

总时间复杂度 \(O\left(n\sqrt V+\frac{q\sqrt V}{\ln V}+n\sqrt V+n\log n+q\log n\right)=O\left(n\sqrt V+(n+q)\log n+\frac{q\sqrt V}{\ln V}\right)\)

有 \(O(n\log^2n)\) 的做法（假定 \(n,q,V\) 同阶）

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) CF468C Hack it!

令 \(inf=10^{18}\)

发现若 \(x<inf\)，则 \(f(x+inf)=f(x)+1\)

因此 \(\sum_{i=inf}^{inf+x-1} f(i)=x+\sum_{i=0}^{x-1}f(i)\)

令 \(p=\left(\sum_{i=0}^{inf-1} f(i)\right)\bmod a\)

则 \(\sum_{i=a-p}^{a-p+inf-1}f(i)\equiv p+(a-p)\equiv 0\pmod a\)

若能求出 \(p\)，则可构造区间 \([a-p,a-p+inf-1]\)

在 \([0,inf-1]\) 中，\(18\) 个数位上 \(0\sim 9\) 都是均匀的，因此每个数的每个数位平均为 \(4.5\)，每个数的平均 \(f\) 函数值为 \(18\times 4.5=81\)，总和为 \(81\times 10^{18}\)，即 \(p=81\times10^{18}\bmod a\)

时间复杂度 \(O(1)\)

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) CF1004F Sonya and Bitwise OR

线段树，每个节点保存区间前后缀 \(or\) 和序列（保存极长相同连续段，可证数量不超过区间长的 \(\log\)）及区间内答案，合并时双指针求出左右之间的贡献，并暴力枚举得到父节点的前后缀序列

时间复杂度 \(O(n\log V+q\log n\log V)\)

代码

相似题

\(\textcolor{purple}\odot\) P4435 [COCI 2017/2018 #2] Garaža \(\quad\) 代码

\(\textcolor{purple}\odot\) P5324 [BJOI2019] 删数

对于一个数组 \(a\)，令 \(cnt_i\) 为 \(i\) 的数量，有数组 \(c_{1\sim n}\)，对于每个 \(i\le n\)，令 \(c[i-cnt_i+1:i]\) 加一，则 \(a\) 最少操作次数为 \(c[1:n]\) 中 \(0\) 的数量

每次 \(a\) 的单点修改相当于一个 \(cnt\) 加，一个 \(cnt\) 减，转化为 \(c\) 的单点修改

每次全局加减相当于令 \(c\) 平移，若某个 \(i\) 移出或移入右边界，则撤销对应的 \(cnt\)，通过维护一个全局加法标记，可转化为 \(c\) 的区间加减

问题转化为 \(O(q)\) 次区间加，区间查询 \(0\) 的数量，且保证全局非负

线段树维护每个节点最小值和最小值数量即可

时间复杂度 \(O(n\log n)\)（假定 \(n,q\) 同阶）

代码