做题记录 25.1.28

\(\textcolor{blue}\odot\) CF387D George and Interesting Graph

考虑枚举中心点 \(u\)

设原图中 \(u\) 的出边数为 \(out(u)\)，则为了补足 \(u\) 的 \(u\) 条出边，需要新增 \(n-out(u)\) 条边（因为没有重边，所以不需要考虑去重）

令 \(u\) 的入边数（不含自环）为 \(in(u)\)，则为了补足 \(n-1\) 条 \(v\to u\) 的边，需要新增 \(n-1-in(u)\) 条

令 \(G'\) 为原图删去 \(u\) 和与之相连的边后的图，则要为 \(G'\) 中每个点确定一条出边和一条入边

设 \(m'\) 为 \(G'\) 中边数

建立二分图，两侧各 \(n\) 点，\(G'\) 中 \(u\to v\) 连接左部 \(u\) 和右部 \(v\)，然后求出最大匹配

设最大匹配数为 \(p\)，则在 \(G'\) 中保留匹配的 \(p\) 条边，删去剩余 \(m'-p\) 条边，然后加上 \(n-1-p\) 条边

因此，取 \(u\) 为中心点时，总操作次数为 \(n-out(u)+n-1-in(u)+m'-p+n-1-p=3n+m'-out(u)-in(u)-2p-2\)

所有 \(u\) 取最小即可

若使用网络流求最大匹配，时间复杂度为 \(O(nm\sqrt n)\)，若使用匈牙利算法，时间复杂度为 \(O(n^2m)\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) P6008 [USACO20JAN] Cave Paintings P

考虑并查集

初始每个非障碍格子为一个联通块，方案数为 \(1\)（为空）

从下向上依次扫描每一行，对于当前扫描到的行 \(i\)，用其中非障碍格子将 \(i-1\) 行中的联通块拼接（两个联通块合并得到的联通块方案数为两者方案数之积）

然后对于所有 包含第 \(i\) 行的格子的联通块，将其方案数加一（因为可以选择该格子从而使整个联通块充满）

答案为最终的联通块的方案数之积

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) P9017 [USACO23JAN] Lights Off G

每一次操作对原始序列的影响可以分开计算，因此分别考虑初始的 \(b\) 和对 \(b\) 的操作对 \(a\) 的影响

设最终操作了 \(r\) 次，若在第 \(i\) 次操作时翻转了 \(b\) 的第 \(k\) 位，其对最终 \(a\) 的影响为 \([k,k+(r-i)]\) 中都翻转（循环位移，即若位置 \(>n\) 则减 \(n\)）

令 \(f_{i,j}\) 表示从 \(a\) 全 \(0\) 开始经过 \(i\) 次操作 \(a\) 能否变为 \(j\)，其相当于询问能否选出长为 \(n\) 的环上的 \(i\) 个区间，长度分别为 \(1\sim i\)，满足对于每个 \(k\)，环上第 \(k\) 个位置的覆盖次数的奇偶性等于 \(j\) 二进制下第 \(k\) 位