做题记录 25.1.27

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\(\textcolor{green}\odot\) [ABC285E] Work or Rest

预处理 \(w_i\) 表示连续 \(i\) 天工作的总工作量，然后假定第一天是休息日，直接 \(dp\) 即可，时间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

\(\textcolor{green}\odot\) P8903 [USACO22DEC] Bribing Friends G

当确定了选出的子集后，显然会选择单位折扣花费甜筒最少的若干个打折扣

将所有朋友根据单位折扣花费甜筒数从小到大排序，则其中某一个为部分用哞尼，部分用甜筒，其前面选出的都用甜筒，其后面选出的都用哞尼

通过从前往后和从后往前的两次 \(0/1\) 背包，可以 \(O(n(a+b))\) 处理出 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\sim n\) 中花费 \(j\) 个哞尼所能得到的最大受欢迎度，\(g_{i,j}\) 表示 \(1\sim i\) 中花费 \(j\) 个甜筒所能得到的最大受欢迎度

枚举中间 部分用哞尼部分用甜筒的朋友编号 和 其使用的甜筒数，将 \(f\) 和 \(g\) 合并可得答案

总时空复杂度 \(O(n(a+b))\)，需要注意一些细节

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) [ABC290F] Maximum Diameter

以下默认 \(n\ne 1\)（虽然 \(n=1\) 时结果也适用）

\(f(x)\ne 0\) 当且仅当 \(\sum_{i=1}^n x_i=2n-2\) 且 \(\forall 1\le i\le n(x_i\ge 1)\)

对于一组满足要求的 \(x_{1\sim n}\)，考虑如何构造最长直径

令 \(k\) 为 \(x\) 中 \(1\) 的数量，即树的叶子数，则可以把 \(n-k\) 个非叶子节点串为链，用叶子补足度数，这样直径上有 \(n-k+2\) 个点，直径为 \(n-k+1\)

问题转化为求

\[\large \sum_{x_{1\sim n}\mid \forall 1\le i\le n(x_i\ge 1),\sum_{i=1}^n x_i=2n-2}\left( n+1-\sum_{i=1}^n [a_i=1]\right) \]

枚举 \(k\)，则答案为

\[\large \sum_{k=1}^n (n+1-k)\sum_{x_{1\sim n}\mid \forall 1\le i\le n(x_i\ge 1),\sum_{i=1}^n x_i=2n-2}\left[\sum_{i=1}^n [a_i=1]=k\right] \]

第二个 \(\sum\) 内的部分即为求恰好有 \(k\) 个 \(1\) 的长为 \(n\)，总和为 \(2n-2\) 的正整数序列数量

\(1\) 的位置有 \(\binom nk\) 种选择，剩下位置总和为 \(2n-2-k\) 且值 \(\ge 2\)，其方案数等于长 \(n-k\) 且总和为 \(2n-2-k-(n-k)=n-2\) 的正整数序列数量，等于 \(\binom{n-2-1}{n-k-1}=\binom{n-3}{k-2}\)

即答案为

\[\sum_k (n+1-k)\binom nk\binom {n-3}{k-2} \]

暴力展开后可直接卷积，时间复杂度 \(O(n\log n+T)\)，但有更简单的方法

\[\begin{aligned} &\sum_k (n+1-k)\binom nk\binom {n-3}{k-2}\\ =&\sum_k(n-1)\binom nk\binom {n-3}{k-2} - \sum_k(k-2)\binom nk\binom {n-3}{k-2} \\ =&\sum_k(n-1)\binom nk\binom {n-3}{k-2} - \sum_k(n-3)\binom nk\binom {n-4}{k-3} \\ =&(n-1)\sum_k\binom nk\binom {n-3}{n-1-k} - (n-3)\sum_k\binom nk\binom {n-4}{n-1-k} \\ =&(n-1)\binom{2n-3}{n-1} - (n-3)\binom{2n-4}{n-1}\\ \end{aligned} \]

预处理后可 \(O(1)\) 计算

时间复杂度 \(O(n+T)\)

代码

\(\textcolor{blue}\odot\) [ARC156C] Tree and LCS

考虑如下构造：每次取出两个叶子 \(u,v\)，令 \(p_u=v\)，\(p_v=u\)。若剩下孤点 \(u\)，则 \(p_u=u\)

显然所有 \(LCS\) 的 \(\max\) 不超过 \(1\)，可证按此方法构造可以取到 \(1\)

代码

参考

\(\textcolor{blue}\odot\) P5749 [IOI2019] 排列鞋子

若 \(a,b\) 处为 \(-x\)，\(c,d\) 处为 \(x\)，且 \(a<b,c<d\)，则 \(ac\)、\(bd\) 分别配对的代价为 \(|c-a-1|+|d-b-1|\)，\(ad\)、\(bc\) 分别配对的代价为 \(|d-a-1|+|c-b-1|\)，分讨可得前者一定不大于后者

因此从左往右扫描原数组，每次找到一个正数 \(x\)，就将其与最左侧未匹配的 \(-x\) 匹配

然后考虑放置每个匹配

从左往右扫描，若找到一个没有放置的 \(u\)，则找到与之匹配的 \(v\)（显然 \(v>u\)），将 \(v\) 移到 \(u\) 右侧，步数为 \((u,v)\) 中还没有放置的位置数（显然目前为止已经放置的位置都移到 \(u\) 左侧了，树状数组维护之），若 \(u\) 处为正数，则还要增加一步交换两者，然后将 \(u\) 和 \(v\) 标记为已放置

可证其正确性

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

参考