做题记录 25.1.25

\(\textcolor{purple}\odot\) P2757 [国家集训队] 等差子序列

显然等价于判断是否存在 \(1\le x<y<z\le n\)，使得 \(a_x,a_y,a_z\) 构成等差数列

考虑枚举中位数 \(a_y\)，显然某个不为 \(a_y\) 的数必在其左侧或右侧

令 \(ct_i\) 表示当前前缀中是否有 \(i\)，则转化为查询数组关于 \(y\) 是否回文（若某一侧较长则忽略多余部分）

线段树维护正向和反向的哈希即可

双哈希会被卡常

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) P9128 [USACO23FEB] Fertilizing Pastures G

\(T=0\) 时，第一问显然为 \(2n-2\)，后一问考虑 \(dp\)，令 \(f_{i}\) 表示从 \(i\) 出发，遍历 \(i\) 中子树，且回到 \(i\) 所需的最小时间，令 \(sa_i\) 表示子树 \(i\) 中 \(a\) 的总和，令 \(sz_i\) 表示子树 \(i\) 的大小，则

\[f_{i}=\min_{p_1\sim p_t} \left( \sum_{i=1}^t f_{p_i}+\sum_{i=1}^t sa_{p_i}\left(1+2\sum_{j=1}^{i-1} sz_{p_j}\right)\right) \]

其中 \(p_{1\sim t}\) 为其儿子的排列

易证将所有儿子按 \(\frac {sa}{sz}\) 从小到大排序最优

总时间复杂度 \(O(n\log n)\)

\(T=1\) 时，显然最后会在深度最大的叶子结束，因此第一问答案为 \(2n-2-d\)，其中 \(d\) 为最大深度

对于后一问，令 \(g_i\) 表是子树 \(i\) 不需要回到 \(i\) 的答案，则

\[g_i=\min_{p_{1}\sim p_t}\left(\sum_{i=1}^{t-1} f_{p_i}+g_{p_t}+\sum_{i=1}^t sa_{p_i}\left(1+2\sum_{j=1}^{i-1} sz_{p_j}\right)\right) \]

其中 \(p_{1\sim t}\) 为其儿子的排列，且 \(p_t\) 为子树高最大的儿子之一

枚举该儿子，在 \(f_i\) 中去掉其影响，再加上其贡献，合法情况取最小即可

总时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) P2566 [SCOI2009] 围豆豆

每个豆子引出一条射线，若经过奇数次则在内部

若射线起点为 \((x,y)\)，则从 \((u,v)\) 走到 \((u,v+1)\)，或从 \((u,v+1)\) 走到 \((u,v)\) 的一步称为经过，其中 \(u>x\)

枚举路径起点 \((x,y)\)，设 \(dp_{i,j,s}\) 表示走到 \((i,j)\)，每个豆子对应射线经过次数的奇偶状态为 \(s\) 的最小步数，直接 \(bfs\) 即可

时间复杂度 \(O(n^2m^22^d)\)

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) P2685 [TJOI2012] 桥

即查询所有去掉一条边的方案中，\(1\) 到 \(n\) 的最短路的最大值

先求出任意一条最短路，假设点依次为 \(p_1,p_2,\cdots,p_t\)，其中 \(p_1=1,p_t=n\)

令 \(l_u\) 为 \(1-u\) 的最短路上最后一个在 \(p_{1\sim t}\) 中的点，令 \(r_u\) 为 \(u-n\) 的最短路上第一个在 \(p_{1\sim t}\) 中的点（可处理出每个点到 \(1\) 的最短路后通过一次 \(bfs\) 求出 \(l\)，\(r\) 同理）

则对于不在该最短路上的边 \(u-v\)，若删去 \(l_u\) 和 \(r_v\) 之间某一边（假定 \(p_{1\sim t}\) 中 \(l_u\) 在 \(r_v\) 之前），最短路可能变为 \(1-l_u-u-v-r_v-n\)，容易通过处理快速求出其长度

建立长为 \(t-1\) 的线段树，位置 \(i\) 对应 \(p_i\) 到 \(p_{i+1}\) 的边，存储若删去这条边，最短路可能变为的最小值

对于 \(u-v\)，其令线段树上 \(l_u\) 到 \(r_v\) 对应区间对 \(1-l_u-u-v-r_v-n\) 的长度取 \(\min\)

第一问即为最终线段树中的最大值，记为 \(mxd\)

对于第二问，若 \(mxd\) 不等于原图中 \(1\) 到 \(n\) 的最短路，则选择的边显然只能在最短路上，答案为线段树上等于 \(mxd\) 的位置数量

若等于最短路长，则任意一条边均可，答案为 \(m\)

总时间复杂度 \(O((n+m)\log n)\)，瓶颈在于 \(dijkstra\)

细节较多

代码

参考

相似题

\(\textcolor{blue}\odot\) P1186 玛丽卡 \(\quad\) 代码

\(\textcolor{blue}\odot\) CF1278E Tests for problem D

设 \(u\) 的儿子为 \(s_{1\sim t}\)，则构造 \(s_{1\sim t}\) 的左端点依次为 \(l-t\sim l-1\)，其中 \(l\) 为 \(u\) 的左端点，\(u\) 的父亲（如果存在）的右端点为 \(l-t-1\)，构造 \(s_{t+1}\) 的右端点为子树 \(s_t\) 中区间的并的右端点加一

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) P2839 [国家集训队] middle

二分答案，小于的设为 \(-1\)，其余设为 \(+1\)，转化为求左端点在 \([a,b]\)，右端点在 \([c,d]\) 中最大的和，判断是否有和 \(\ge 0\)

拆为查询 \([b,c]\) 内的和、\([a,b)\) 内的最大后缀和、\((c,d]\) 内的最大前缀和

对每个值计算出该数组，从小到大枚举值则 \(+1\) 变为 \(-1\) 次数为 \(O(n)\) 的，用主席树存储

对离散化后的值二分可做到总时间复杂度 \(O(n\log n+q\log^2 n)\)，空间 \(O(n\log n)\)

数据范围应该可以加强到 \(2\times10^5\) 的级别

代码

\(\textcolor{purple}\odot\) [AGC043D] Merge Triplets

对于同一块中三个数 \(x,y,z\)

• 若 \(x>y\) 且 \(x>z\)，则在最终排列中三者连续
• 若 \(x>y\)，则 \(x,y\) 连续
• 若 \(x>z\)，则 \(x,z\) 连续
• 若 \(y>z\)，则 \(x,y\) 连续

因此最终排列由若干段组成，每段第一个数最大，且长度为 \(1/2/3\)

显然每段第一个元素组成的序列单调递增（每次都找最小的取下去，一直到无法取，因此下一段开始一定比前一段大）

因此以上的段为极大的

显然长为 \(1\) 的不能少于长度为 \(2\) 的，因为一个 \(2\) 需要和一个 \(1\) 匹配为一块，而 \(1\) 自身可以三个组成一块

可证满足上述要求的序列可对应至少一个初始排列

问题转化为求长为 \(3n\)，且由若干长为 \(1\sim 3\) 的连续段组成，满足段内第一个元素最大，且每段第一个元素递增，且长为 \(2\) 的不超过长为 \(1\) 的排列数量

考虑 \(dp\)

令 \(f_{i,j}\) 表示考虑长为 \(i\) 的前缀，长为 \(1\) 的数量减去长为 \(2\) 的数量为 \(j\) 的方案数，\(1\le i\le 3n\)，\(-n\le j\le 3n\)

显然 \(f_{0,0}=1\)

转移则每次填一段

• 若段长为 \(1\)，则其强制为最大值，\(f_{i,j}\gets f_{i-1,j-1}\)
• 若段长为 \(2\)，则第一个数强制为最大值，后一个数任意，\(f_{i,j}\gets f_{i-2,j+1}(i-1)\)
• 若段长为 \(3\)，则第一个数强制最大，后两个数任意，\(f_{i,j}\gets f_{i-3,j}(i-1)(i-2)\)

答案为 \(\sum_{j\ge 0} f_{3n,i}\)

时间复杂度 \(O(n^2)\)，常数较大

空间可滚动数组（滚 \(4\) 个或 \(3\) 个）优化到 \(O(n)\)

代码