2025.1.7 CFVP 题解

gym 579122

CF1417A Copy-paste

每次将最小的 \(a_i\) 尽量加到其他上面，总答案为 \(\sum_{i=2}^n \frac{k-a_i}{a_1}\)（假定 \(a_1\) 是最小的）

时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

CF1592B Hemose Shopping

若距离为 \(k\)，则 \([1,n-k]\cup[k+1,n]\) 内的数可以任意交换，比较排序后和排序前是否该范围外的数是否相同即可

时间复杂度 \(O(\sum n\log n)\)

代码

CF1469C Building a Fence

等价于询问是否存在整数序列 \(t_{1\sim n}\) 同时满足：\(t_1=h_1\)，\(t_n=h_n\)，\(\forall 1<i\le n(|t_i-t_{i-1}|<k)\)，\(\forall 1\le i\le n(h_i\le t_i< h_i+k)\)，从 \(1\) 到 \(n\) 递推，跟新当前位置 \(t_i\) 的取值范围，最后查看 \(t_n\) 是否在范围内即可

时间复杂度 \(O(\sum n)\)

代码

CF1344B Monopole Magnets

显然若有解，则答案为四联通块数量，考虑判定是否有解

若存在全白行但不存在全白列，则无解。反之若存在全白列但不存在全白行也无解

若存在一个白色格子，其上方和下方都存在黑色格子，或其左侧和右侧都存在黑色格子，则无解

可证其他情况均有解

时间复杂度 \(O(n^2)\)

代码

CF1679E Typical Party in Dorm

对于每个可能成为回文串的子串（即不存在两个互相对称的位置，满足两者填的字符确定且不同），可以表示为二元组 \((k,c)\)，表示若询问的字符集为 \(c\) 的超集，则其对答案的贡献为字符集大小的 \(k\) 次幂（可枚举中心暴力扩展 \(O(n^2)\) 求出所有二元组）

令 \(Ct_{i,s}\) 表示字符集大小为 \(i\) 且为 \(s\) 的超集时，答案的增加量，其可由之前求出的二元组直接得到

对每个 \(Ct_{i,\ast}\) 做高维前缀和，则 \(Ct_{i,s}\) 表示字符集大小为 \(i\) 且等于 \(s\) 时的答案

设询问的字符集为 \(s\)，则答案为 \(Ct_{|s|,s}\)

时间复杂度 \(O(n^2+c^22^c+q)\)（其中 \(c\) 为字符集大小 \(17\)）

代码

CF1369F BareLee

令 \(f_{i,W/L}\) 表示第 \(i\) 轮的先手在最后是否有必胜（\(W\)）/ 必败（\(L\)）策略

令 \(W(s,e)\) 表示起始值为 \(s\)、上界为 \(e\) 时，先手是否有必胜策略

令 \(L(s,e)\) 表示起始值为 \(s\)、上界为 \(e\) 时，先手是否有必败策略

则边界为 \(f_{n,W}=W(s_n,e_n),f_{n,L}=L(s_n,e_n)\)，答案为 \(f_{1,W}\) 和 \(f_{1,L}\)

转移为

\[f_{i,W}=(L(s_i,e_i)\land f_{i+1,W})\lor(W(s_i,e_i)\land \lnot f_{i+1,W}) \]

\[f_{i,L}=(L(s_i,e_i)\land f_{i+1,L})\lor(W(s_i,e_i)\land \lnot f_{i+1,L}) \]

两式前一个括号显然，后一个括号中 \(f_{i+1,W}\) 表示之后部分先手有必胜策略，\(\lnot f_{i+1,W}\) 即为先手无必胜策略，因此后手必胜，第二个式子同理

问题转化为快速求 \(L(s,e)\) 和 \(W(s,e)\)

\(L(s,e)=W(s,e//2)\)，因为若 \((s,e//2)\) 先手有必胜策略，相当于后手下一步无论如何都会超过 \(e//2\)，但显然不会超过 \(e\)，因此后手操作完后，先手令 \(s\gets s\times 2\) 一定超过了 \(e\)，有必败策略；反之可用类似方法证明若 \(W(s,e//2)=0\) 则先手必败

考虑计算 \(W(s,e)\)

当 \(s>e\) 时 \(W(s,e)=1\)，当 \(s=e\) 时 \(W(s,e)=0\)，两者显然

若 \(e\) 为奇数，且当前 \(s\) 为偶数，则先手令 \(s\) 加一，若后手还能操作则无论如何都会令 \(s\) 变为偶数，显然此时 \(s+1\le e\)，因此仍然为 \(e\) 奇 \(s\) 偶的局面，先手必胜

反之若 \(e\) 为奇数且 \(s\) 为奇数，若先手可操作，则无论如何操作都会使 \(s\) 变为偶数，后手必胜，先手必败

考虑 \(e\) 为偶数的情况

若 \(2s>e\) 且 \(s\) 为奇数，则类似 \(e\) 奇数 \(s\) 偶数的方式，先手每次 \(+1\)，先手必胜；若 \(2s>e\) 且 \(s\) 为偶数，则先手只能 \(s\gets s+1\)，后手必胜，先手必败

若 \(2s\le e,4s>e\)，则先手令 \(s\gets s\times 2\) 变为 \(2s>e\) 且 \(s\) 为偶数的状态，后手必败，先手必胜

若 \(4s\le e\)，则 \(W(s,e)=W(s,e//4)\)，因为若 \(W(s,e//4)=1\)，则存在一种方式使得后手下一步无论如何都会超过 \(e//4\)，即变为 \(2s\le e,4s>e\) 的状态，先手必胜；反之可证若 \(W(s,e//4)=0\) 则先手必败，方法类似

总时间复杂度 \(O(n\log V)\)，常数不大

代码

参考