2024.12.20 dp 讲课笔记
最小斯坦纳树
允许新加点的最小生成树
目前只有非多项式复杂度解法
模板题：P6192 【模板】最小斯坦纳树
例：QOJ # 5175. 翻修道路
给定 \(n\) 个点 \(m\) 边的有向图，每条边 \(u\rightarrow v\) 有边权 \(a\)，可经过一次操作使其变为 \(b\)，对于每个 \(0\le x\le m\)，求出至多操作 \(x\) 次后，\(\max_{i=1}^k dis(1,p_i)\) 的最小值，\(n,m\le100,k\le8\)
显然 \(1\) 到 \(p_i\) 的最短路的并一定构成以 \(1\) 为根的外向树
建出原图的 反图，则构成内向树
令 \(dp_{S,i,j}\) 表示考虑内向树的子树 \(i\)，其包含 \(p_{1\sim k}\) 的子集 \(S\)，其中一共操作了 \(j\) 条边，在此情况下，\(S\) 中点到 \(i\) 的最短路的最大值的最小值
显然 \(\forall1\le i\le k,dp_{\{p_i\},p_i,0}=0\)，最终 \(x\) 的答案为 \(\min_{i=0}^x\left(dp_{\{p_1,p_2,\cdots,p_k\},1,x}\right)\)
转移则外层枚举 \(S\)
一种情况是将两个子树合并，转移为
对于相同的 \(S\) 和 \(u\)，显然 \(dp_{S,u,i}\) 随 \(i\) 增加而单调不升
因此对于 \(S\)，枚举 \(u,T,i\)，指针找到 \(dp_{S/T,u,i}\le dp_{T,u,j}\) 的最大的 \(j\)，用其转移一定比用 \(j\) 更大的转移更优
另一种情况是在内向树上向根移动一步，可以操作或不操作那条边，转移为
转移有后效性，需要用 \(dijkstra\) 辅助
总时间复杂度 \(O(3^knm+2^knm\log nm)\)
SOSDP
例 1. [ARC100E] Or Plus Max
对于每个 \(0\le u<2^k\)，求出 \(\max_{i\ne j,i|j\le u}a_i+a_j\)
考虑先对于每个 \(0\le u<2^k\)，求出 \(dp_u=\max_{i\ne j,(i|j)\subseteq u}a_i+a_j\)
这样原本的 \(\max_{i\ne j,i|j\le u}a_i+a_j\) 可以转化为 \(\max_{0\le i\le u}dp_u\)，在输出时前缀 \(\max\) 一下即可
而 \((i|j)\subseteq u\) 等价于 \(i\subseteq u\) 且 \(j\subseteq u\)，又 \(i\ne j\)，因此选择 \(\{a_s\mid s\subseteq u\}\) 中最大次大值一定最优
则每个 \(dp\) 为一个二元组，表示最大次大值，初始最大值为其对应 \(a_i\)，次大值为 \(-\infty\)
然后对其高维前缀和，其中 \(op\) 为合并两组最大次大求出新的最大次大
时间复杂度 \(O(k2^k)\)
例 2：QOJ # 9611. 木桶效应
有 \(m\) 个 \(1\sim n\) 的排列 \(p_{1\sim m,1\sim n}\)，其中 \(q\) 个位置值确定（保证有解），求所有可能方案的 \(\prod_{i=1}^n\min_{j=1}^m p_{j,i}\) 之和取模，\(n\le50,m< MOD(998244353),q\le 10\)
将有确定位置的行前移，设 \(1\sim c_0\) 行有确定位置，其余 \(m-c_0\) 行无确定位置
将有确定位置的列左移，设 \(1\sim c_1\) 列有确定位置，其余 \(n-c_1\) 列无确定位置
显然这样不改变答案
原问题的答案可以转化为：有 \(a_{1\sim n}\) 和 \(p_{1\sim m,1\sim n}\)，满足 \(\forall 1\le i\le n,1\le j\le m\)，有 \(a_i\le p_{j,i}\)，且 \(1\le a_i\le n\)，\(p\) 中部分位置确定，求合法的 \((a,p)\) 数量
对于确定的 \(a\)，设其排序后结果为 \(x\)，则其对应的合法 \(p\) 的数量为 \(\left(\prod_{i=1}^n (i-x_i+1)\right)^{m-c_0}\times\prod_{j=1}^{c_0}\prod_{i=1}^n(i-x_i-num_{i,j}+1)\)，其中 \(num_{i,j}\) 为第 \(j\) 行前 \(i\) 个数中，已经确定且不小于 \(i\) 的位置的数量
考虑从小到大向 \(a\) 中填数
令 \(dp_{i,j,S}\) 为仅填了 \(a\) 中值为 \(1\sim i\) 的位置，\(a_{1\sim c_1}\) 中子集为 \(S\) 的部分已填，剩余列中有 \(j\) 个位置已填，在此情况下 \(a\) 的总贡献
则
后面三项分别为选择 \(k\) 列的方案数和两种贡献
第三项化简得
根据 \(|T|\) 分为 \(n\) 类进行 \(SOSDP\) 即可
时间复杂度 \(O(n^32^mm^2)\)，应该可以进一步优化
插头 dp
也称为轮廓线 \(dp\)
例 1：P4262 [Code+#3] 白金元首与莫斯科
有 \(n\times m\) 的网格，其中若干位置有障碍，对于每个没有障碍的位置，求出若在该位置放置障碍，有多少种方式在无障碍的格子内放置 \(1\times 2\) 或 \(2\times 1\) 的物体，满足其互不重叠（可以不放满），\(n,m\le17\)
令 \(dp_{i,j,S}\) 表示仅考虑 \(1\sim {i-1}\) 行和第 \(i\) 行前 \(j\) 格的范围，轮廓线状态为 \(S\) 时总方案数，其中 \(S\) 为 \(m+1\) 位的二进制数，依次表示 \(m+1\) 段的状态，编号如下：
@ j+1 ... m @
@ | | @
@ col j v v @
@ +---+--+--+--+--+ @
@ line |cur| @
@ i |blk|<- j @
@ +--+--+--+--+---+ @
@ ^ ^ ^ @
@ | | | @
@ 0 1 ... j-1 @
若对应位为 \(1\) 则表示有 \(1\times 2\) 或 \(2\times 1\) 的物体跨过这一段轮廓线，反之为没有跨过的
转移需要一定的分类讨论，具体见代码
需要注意一些边界情况
这样可以在 \(O(nm2^m)\) 内解决没有新增障碍的情况
若在 \((i,j)\) 位置新增一个障碍，则可以看做将 \(dp\) 数组和反向 \(dp\) 数组拼起来，需要一定讨论
+-------------------+
| 正向 dp |
| |
| +---+-------+
| |i,j| |
+-------+---+ |
| |
| 反向 dp |
+-------------------+
时间复杂度 \(O(nm2^m)\)，常数较大
例 2：P5056 【模板】插头 DP
在 \(n\times m\) 的矩形上有一些位置为障碍，要用在其余格子铺线，形成一条闭合回路，求总铺法，\(n,m\le12\)
用括号匹配的方式处理回路相交的问题
同样用 \(m+1\) 位数字表示轮廓线状态，但是每一位为 \(0/1/2\)，分别表示无穿过的，穿过的为左括号，穿过的为右括号
转移同样需要一定分讨，具体见代码。需要在最后一个非障碍位置处闭合曲线，统计答案
发现有效位置较少，因此用 unordered_map 保存下非 \(0\) 的 \(dp\) 值
总时间复杂度 \(O(nm^23^m)\)，常数极大，但完全跑不满
例 3：P3886 [JLOI2009] 神秘的生物
给定 \(n\times n\) 的矩阵，求其所有联通块中最大的权值和（至少选一格），\(n\le9\)
对于一条轮廓线，显然最多只有 \(5\) 个联通块
将其状压为长 \(n+1\) 的 \(8\) 进制数，使用最小表示法（所有能表示当前状态的 \(8\) 进制数中字典序最小的一个），直接分讨转移即可
理论时间复杂度 \(O(nm6^m)\)，常数极大，若使用 unordered_map 优化则完全跑不满
dp 套 dp
内层 \(dp\) 求出外层 \(dp\) 转移到的新状态，外层 \(dp\) 对内层 \(dp\) 计数
例 1：P4590 [TJOI2018] 游园会
求长为 \(n\)，字符集为 \(N,O,I\)，不含子串 \(NOI\)，且与给定串 \(t\) 的 \(LCS\) 为 \(i\) 的字符串数量（对于每个 \(i\) 都求解），\(n\le1000,|t|\le 15\)
外层 \(dp\) 处理不含子串 \(NOI\) 的显著，内层 \(2^{|t|}\) 状压 \(LCS\) 的 \(dp\) 过程
时间复杂度 \(O(nk2^k)\)，可优化到 \(O(n2^k+k2^k)\)
例 2：P8352 [SDOI/SXOI2022] 小 N 的独立集
给定 \(n\) 个节点的树，每个点赋 \(1\sim k\) 的权值，对于每个 \(1\le i\le nk\) 求出最大独立集为 \(i\) 的赋值方案数取模，\(n\le1000,k\le5\)
内层 \(dp\) 显然令 \(f_{i,0/1}\) 表示 强制不选节点 \(i\) / 不限制节点 \(i\) 选择情况 的答案，有 \(f_{i,0}\gets f_{i,0}+\max(f_{j,0},f_{j,1})\)，\(f_{i,1}\gets f_{i,1}+f_{j,0}\)，显然 \(f_{i,1}-k\le f_{i,0}\le f_{i,1}\)
外层 \(dp\) 令 \(dp_{i,j,l}\) 表示节点 \(i\) 处内层 \(dp\) 的 \(f_{i,0}=j\)，\(f_{i,1}=j+l\) 时的方案数，显然 \(j=O(nk),l=O(k)\)，转移则将其每个儿子依次拼接上去
时间复杂度 \(O(n^2k^4)\)，若只转移不为 \(0\) 的位置，则完全跑不满
加强版：QOJ # 8670. 独立
求独立集的期望取模，\(n\le2000,k\le10^8\)
根号分治
例 1：P6189 [NOI Online #1 入门组] 跑步
求和为 \(n\) 的递增序列数量取模，\(n\le10^5\)，模数不一定为质数
设立阈值 \(B\)，不超过 \(B\) 的完全背包，超过的部分每次加入一个 \(B\)，或整体加一
令 \(B=\sqrt n\)，则时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)
例 2：QOJ # 5097. 小 P 爱学习
给定 \(n\times m\) 个互不相同的数，将其分为若干组，满足每组大小都是 \(m\) 的倍数，一种分组方法的权值为每组内数之和的乘积，求所有可能方案的权值和取模，\(n\le1500,m\le100\)
拆贡献，等价于将其划分为若干大小为 \(m\) 倍数的组，从每组中选出一个数，求所有方案选出数的乘积的总和
令 \(f_i\) 表示从中选出 \(i\) 个数，选出数的乘积的总和，令 \(g_i\) 表示将 \(nm-i\) 本数划分为 \(i\) 个集合（集合之间无序，每个集合大小为 \(km-1\)）的方案数，则答案为 \(\sum_{i=1}^n f_i\times g_i \times i!\)
\(f\) 数组容易背包 \(O(n^2m)\) 求，常数不大
根据定义
令 \(w_i=\frac1{im-1}\)，考虑求出
考虑根号分治，设定阈值 \(B\)
令
（此处值相同但值的下标不同的 \(s\) 不同，即若交换 \(s\) 中值相同的两个位置，\(s\) 变化）
则
（由于 \(b\) 不超过 \(\frac nB\)，因此此处合并的时间复杂度为 \(O(n^2\cdot\frac nB)\)）
\(F\) 和 \(G\) 的边界条件为 \(F_{0,0}=G_{0,0}=1\)，转移为
这部分时间复杂度 \(O(n^2(B+\frac nB))\)，取 \(B=\sqrt n\) 最优，为 \(O(n^2\sqrt n)\)
总时间复杂度 \(O(n^2(\sqrt n+m))\)
例 3：QOJ # 9608. 皮鞋的多项式
给定一棵 \(n\) 节点的树，每个节点 \(i\) 有长为 \(k_i\) 的多项式 \(P_i\)，令 \(F_x=\prod_{u\in\operatorname{subtree}(x)}P_u\)，\(q\) 次询问每次给定 \(l,r,x\)，查询 \(\sum_{i=l}^r[x^i] F_x\) 取模，强制在线，\(n\le10^5,q\le10^5,\sum k_i\le2\times10^5\)
设立阈值 \(B\)
每个节点维护两个多项式 \(R_u,S_u\)，满足 \(R_u\times S_u=F_u\) 且 \(S_u\) 长度不超过 \(B\)
初始令 \(S_u=P_u\)，然后依次将每个儿子的 \(R,S\) 分别与当前处理节点的 \(R_u,S_u\) 相乘，若某时刻 \(S_u\) 长度超过 \(B\)，则令 \(R_u\gets R_u\times S_u\) 并令 \(S=1\)
其中 \(S\) 部分的乘法可以暴力实现，令 \(N=\sum k_i\)，可证时间复杂度不超过 \(O(N\times B)\)
可证本质不同的 \(R_i\)（即需要用类似引用计数的方式，相同的直接引用而不是拷贝）数量不超过 \(O(\frac NB)\)，因此 \(R_i\) 相关的乘法用 \(NTT\) 即可，这部分总时间复杂度 \(O(\frac NB N\log N)\)
对每个本质不同的 \(R_i\) 做前缀和后，每个询问 \(x,l,r\) 枚举 \(S_x\) 的下标，得到 \(R_x\) 中的下标范围，可 \(O(B)\) 回答
总时间复杂度 \(O(NB+\frac NBN\log N+NB)\)（假定 \(N,q\) 同级）
取 \(B=\sqrt{N\log N}\)，则复杂度为 \(O(N\sqrt{N\log N})\)，实际建议取 \(B=\sqrt{2N\log N}\)
分治、闵可夫斯基和
例 1：[ABC383G] Bar Cover
给定 \(a_{1\sim n}\) 和 \(K\)，对于每个 \(1\le i\le\lfloor\frac nK\rfloor\)，求出从 \(a_{1\sim n}\) 中选出恰好 \(i\) 个长为 \(K\) 的不交区间时，选出数的总和的最大值，\(K\le n\le 2\times 10^5,K\le 5,|a_i|\le10^9\)
考虑分治
在分治树上，令 \(f_{k,l,r,c}\) 为节点 \(k\) 对应区间中，左侧至少 \(l\) 个位置没选，右侧至少 \(r\) 个位置没选，选择了 \(c\) 个位置的总和的最大值，令 \(dp_{k,l,r,c}=f_{k,l,r,c}-f_{k,l,r,c-1}\)（实现时只保存 \(dp\)，\(dp_{k,l,r}\) 为一个 vector，以下将 \(dp_{k,l,r}\) 作为转移的单位）（\(0\le l,r<K\)）
则答案为 \(dp_{rt,0,0,0\sim\lfloor\frac nk\rfloor-1}\) 的前缀和数组
令节点 \(k\) 对应区间为 \(a[L(k),R(k)]\)，中点为 \(M(k)\)，左右儿子为 \(lp(k),rp(k)\)，其中左儿子对应 \(a[L(k),M(k)]\)，右儿子对应 \(a[M(k)+1,R(k)]\)
若 \(R(k)-L(k)+1<K\)，则所有 \(dp_{k,l,r}\) 都为空，因为无法选择
定义 \(\max(a,b)\)（其中 \(a,b\) 为数组）为 \(a\) 和 \(b\) 的前缀和数组补为相同长度（补极小值）后对应项取 \(\max\) 的差分数组
定义数组 \(a\) 和 \(b\) 的合并数组为满足 \(c_t=\max_{x+y=t}(a_x+b_y)\) 的数组 \(c\)，定义 \(\operatorname{mrg}(a,b)\) 为 \(a,b\) 的前缀和数组的合并数组的差分数组
令 \(A\) 为 \(a\) 的前缀和数组
则转移为
可以证明所有 \(f_{k,l,r}\) 都是凸的，因此 \(dp_{k,l,r}\) 为单调的，\(\operatorname{mrg}\) 可用归并实现
总时间复杂度 \(O(k^3\times\frac nk\log\frac nk)=O(nk^2\log\frac nk)\)
可以用 \(slope\;trick\) 做到 \(O(n\log^2n)\)
例 2：gym103202 L. Forged in the Barrens
给定 \(a_{1\sim n}\)，对于每个 \(1\le i\le n\)，求出将 \(a\) 划分为 \(i\) 个子段后极差总和的最大值，\(n\le2\times10^5\)
等价于将 \(a_{1\sim n}\) 划分为 \(i\) 段，每段选择一个数减，一个数加，两数可以相同，求最大的总和
分治，令 \(dp_{k,0/1/2,0/1/2,c}\) 表示节点 \(k\) 带代表的区间，中间划分为 \(c\) 个完整的段，左侧散段没选 / 选了加上的 / 选了减去的，右侧散段没选 / 选了加上的 / 选了减去的，此时的最大总权值（代码中保存了其差分数组）
叶子处的 \(dp\) 数组取值可以分类讨论该位置不选 / 自成一段 / 加 / 减
合并时枚举分界点所属段的情况即可，需要特殊处理左半段内没有分割点或右半段内没有分割点的情况
可证 \(dp_{k,l,r}\) 为凸的，归并即可
时间复杂度 \(O(n\log n)\)，常数较大
杂项
例 1：P2900 [USACO08MAR] Land Acquisition G
给定 \(n\) 个矩形，大小为 \(x_i\times y_i\;(1\le i\le n)\)，选择一个子集的代价为子集中最大的 \(x\) 乘以最大的 \(y\)，求将全集划分为若干子集的最小总代价，\(n\le5\times10^4,x,y\le10^6\)
相当于平面上有若干点 \((x_i,y_i)\)，定义点 \(A\) 覆盖点 \(B\) 为 \(A\) 的 \(x,y\) 坐标都比 \(B\) 大，定义一个点的权值为其两坐标之积，要选择一个点集覆盖所有点，最小化总权值
先移除已经被别的给定点覆盖的点，这样剩下的点可排列为 \(x\) 严格递增，\(y\) 严格递减
最优情况下一个选择的点一定覆盖一个区间
令 \(f_i\) 表示选择了 \(1\sim i\) 的代价（移除并排序后，令 \(n\) 为剩余点数），则转移为 \(f_i=\min_{0\le j<i}f_j+x_iy_{j+1}\)
可以斜率优化或用李超树
时间复杂度 \(O(n\log n)\) 或 \(O(n\log V)\)
例 2：P5298 [PKUWC2018] Minimax
一棵 \(n\) 点的二叉树，叶子的权值给定且互不相同，非叶子节点 \(i\) 有 \(p_i\) 的概率为其所有儿子的权值的最大值，\(1-p_i\) 的概率为其所有儿子的权值的最小值（\(0<p_i<1\)），设根的权值有 \(m\) 种可能，分别为 \(v_{1\sim m}\)，概率分别为 \(p_{1\sim m}\)，求出 \(\sum_i iv_ip_i^2\)，\(n\le3\times10^5\)
由于 \(0<p_i<1\)，根可以取遍所有叶子的权值
因此 \(m\) 等于树的叶子数，\(v_{1\sim m}\) 为每个叶子权值排序后的结果
将叶子的权值离散化为一个 \(1\sim m\) 的排列
令 \(dp_{u,i}\) 表示节点 \(u\) 的权值为 \(i\)（离散化后）的概率
对于叶子 \(u\)，设其离散化后的权值为 \(w_u\)，则 \(dp_{u,i}=[i=w_u]\)
对于只有一个儿子 \(w\) 的节点 \(u\)，\(dp_{u,i}=dp_{w,i}\)
对于有两个儿子 \(v,w\) 的节点 \(u\)，有
答案式子中的 \(p_i\) 即为 \(dp_{1,i}\)
通过前缀和优化可做到 \(O(n^2)\) \(\quad\) 代码
考虑进一步优化
对于每个 \(dp_{u,\ast}\) 建立一棵动态开点线段树
叶子和只有一个儿子的情况容易处理，考虑如何处理两个儿子合并的情况
考虑修改线段树合并的过程
递归到某个区间 \([l,r]\) 时，维护 \(dp_{v,1\sim l-1}\)，\(dp_{v,l+1\sim m}\)，\(dp_{w,1\sim l-1}\)，\(dp_{w,l+1\sim m}\) 的和（作为参数传入）
若两棵树对应区间都不为空则递归下去，若都为空则直接返回
若有一颗为空，假设是 \(dp_{v,\ast}\) 对应位置为空，记之前四个前后缀和分别为 \(vl,vr,wl,wr\)，则对于该区间内的 \(dp_{u,i}\)，转移为
因此在 \(dp_{w,\ast}\) 的基础上区间乘以 \(p_u vl+(1-p_u)vr\) 即可
线段树需要维护区间和，支持区间乘
时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)
例 3：P2605 [ZJOI2010] 基站选址
\(n\) 个点坐标为 \(d_{1\sim n}\)（\(d_1=0\)），选择一个大小不超过 \(k\) 的子集 \(S\)，称一个点 \(i\) 被覆盖当且仅当 \((\exists u\in S)\,\,d_u\in[d_i-s_i,d_i+s_i]\)，令被覆盖的点集为 \(T\)，最小化 \(\sum_{u\in S} c_u+\sum_{u\notin T}w_u\)，\(n\le2\times10^4,k\le100,d_i,s_i\le10^9,c_i,w_i\le10^4\)
令 \(n,k\) 都加一，并令增加后的 \(d_n=w_n=\infty,c_n=s_n=0\)，这样相当于强制令最后一个点必选，且其不影响前面的点，答案显然不变
令 \(f_{i,j}\) 表示 \(1\sim j\) 中选择不超过 \(i\) 个点，其中点 \(j\) 强制选，该情况下 \(1\sim j\) 内选择点的 \(c_x\) 和未覆盖点的 \(w_x\) 之和
边界为 \(f_{1,i}=c_i+\sum_{j<i}[d_j+s_j<d_i]w_j\)，容易预处理后 \(O(n)\) 全部求出，答案为 \(f_{k,n}\)
令 \(w(i,j)\) 表示选择了 \(i\) 和 \(j\)，\(i\) 和 \(j\) 之间没有被覆盖的点的 \(w_x\) 之和（若 \(i\ge j\) 则为 \(0\)）
则转移为
暴力实现为 \(O(n^2k)\) 的，状态难以优化，考虑优化转移
对于第 \(i\) 层的转移，在枚举 \(j\) 的同时维护一个数组 \(T\)，其中 \(T_l=f_{i-1,l}+w(l,j)\)，忽略 \(l\ge j\) 的部分，初始 \(T_j=f_{i-1,j}\)
每个转移相当于求 \(T\) 的前缀最小值
当 \(j\) 加一时，枚举 \(R_u=j\) 的 \(u\)（加一之前的 \(j\)），则 \(T_{1\sim L_u-1}\) 会增加 \(w_u\)（对应范围内点 \(u\) 不再被覆盖）
转化为求前缀最小值，前缀加，线段树维护即可
时间复杂度 \(O(kn\log n)\)
例 4：P5364 [SNOI2017] 礼物
令 \(f_1=1\)，\(f_i=i^k+\sum_{j=1}^{i-1}f_j\)，求 \(f_n\)，\(n\le10^{18},k\le10\)
维护向量 \([i^0 \,\, i^1 \,\, i^2 \,\, \cdots \,\, i^k \,\, f_i]\)，转化为矩阵快速幂
时间复杂度 \(O(k^3\log n)\)
例 5：CF809D Hitchhiking in the Baltic States
给定 \(l_{1\sim n},r_{1\sim n}\)，求出 所有 \(a_{1\sim n}\) 满足 \(l_i\le a_i\le r_i\) 的最长严格上升子序列长度的最大值，\(n\le3\times10^5\)，\(l_i,r_i\le10^9\)
考虑 \(dp\)，令 \(f_{i,j}\) 表示 \(1\sim i\) 中长为 \(j\) 的最长严格上升子序列最后一项的最小值
初始 \(f_{0,\ast}=\infty\)
当 \(l_i-1\le f_{i-1,j-1}\le r_i-1\) 时，可以在后面追加一个恰好大一的值，此时 \(f_{i-1,j-1}+1\to f_{i,j}\)
当 \(f_{i-1,j-1}\le l_i-1\) 时，可以追加一个 \(l_i\)，此时 \(l_i\to f_{i-1,j}\)，而 \(f_{i-1,j-1}=l_i-1\) 时已经被前一种情况覆盖，因此这里只要考虑 \(f_{i-1,j-1}< l_i-1\) 的情况
若 \(i\) 位置不选择，则 \(f_{i-1,j}\to f_{i,j}\)
显然每个 \(f_{i,\ast}\) 都是严格不降的，因此用一棵平衡树维护
第一种转移相当于找到值在 \([l_i-1,r_i-1]\) 内的区间，全部加一并向后移一位
第二种转移相当于把第一个 \(<l_i-1\) 位置的后一个位置改为 \(l_i\)
两者结合，相当于找到值在 \([l_i-1,r_i-1]\) 内的区间，区间内的数整体加一，区间前面插入一个 \(l_i\)，删去区间后面的第一个数（如果存在）
最终答案为平衡树的大小
时间复杂度 \(O(n\log n)\)
例 6：CF1715E Long Way Home
给定一张无向图，节点 \(u\) 和节点 \(v\) 之间有长为 \((u-v)^2\) 的额外边，对于每个 \(i\) 求出 \(1\) 到 \(i\) 经过不超过 \(k\) 条额外边的最短路，\(n\le10^5,k\le20\)
令 \(dp_{i,j}\) 表示 \(1\) 到 \(j\) 经过不超过 \(i\) 条额外边的最短路
显然 \(dp_{0,1}=0\)，答案即为 \(dp_{k,1\sim n}\)
定义 \(dp_{i,\ast}\) 为第 \(i\) 层，则同一层内的可以通过 \(\operatorname{dijkstra}\) 优化，这部分时间复杂度为 \(O(kn\log n)\) 的
第 \(i-1\) 层到第 \(i\) 层的转移为
暴力实现为 \(O(n^2k)\) 的
显然可以斜率优化做到 \(O(nk)\)
总时间复杂度 \(O(kn\log n)\)
例 7：CF1889C2 Doremy's Drying Plan (Hard Version)
给定 \(m\) 条 \([1,n]\) 内的线段，删除至多 \(k\) 条，最大化没有被线段覆盖的整点数量，\(k\le m\le2\times10^5,k\le 10,n\le2\times10^5\)
令 \(f_{i,j}\) 表示删去 \(i\) 条的情况下 \(1\sim j\) 中没有被覆盖的整点数量的最大值，则 \(f_{i,0}=0\)，答案为 \(f\) 的最大值
令 \(w(k,i)=\sum_{t=1}^n [k<l_t\le i\le r_t]\)
则转移为
暴力实现可做到 \(O(n^2k)\)
由于 \(w(\ast,i)\) 单调不降，可以将 \([0,i)\) 划分为 \(O(k)\) 个连续子段，每段内 \(w(\ast,i)\) 值相同，转化为 \(O(k)\) 个关于 \(f\) 的 \(\operatorname{RMQ}\)，可以通过动态 \(\operatorname{ST}\) 维护
问题转化为快速分段
令 \(a_{i,j}\) 表示 将所有覆盖位置 \(i\) 的区间的左端点从大到小排序后第 \(j\) 大的值（可重）（\(j\le k\)），容易 \(O(kn+m\log m)\) 预处理
则对于 \(i\)，有 \(\forall a_{i,c+1}\le x< a_{i,c}\)，\(w(x,i)=c\)
总时间复杂度 \(O(kn+m\log m)\)
vjudge 练习
dp，pw:tang
题单，pw:tanger
luogu 题单
参考
动态规划.pdf by cyfff
浙公网安备 33010602011771号