不动点和求导

给定 \(f(x)\)，令 \(x\leftarrow f(x)\) 为一次变换，则 \(x=f(x)\) 的位置为其不动点

若其某个不动点处的导数绝对值小于 \(1\)，则经过多次变换后，其附近的点会聚集到这个位置处，即初始的微扰动不会影响变换足够多次的结果，称为稳定不动点

反之，若其某个不动点处的导数绝对值大于 \(1\)，则经过多次变换后，其附近的点会远离这个位置，初始的微扰动会明显影响变换足够多次的结果，称为不稳定不动点

例如 \(f(x)=1+\frac1x\)，其不动点有 \(x_1=1+\varphi\) 和 \(x_2=-\varphi\)，前者稳定，后者不稳定

参考

你在微积分课上学不到的知识