积分

根据微积分基本定理，若 \(F(x)\) 的导函数为 \(f(x)\)，那么 \(\int f(x)dx=F(x)+C\)

一个函数 \(f(x)\) 图象在 \([a,b]\) 区间内的部分与 \(x\) 轴围成的面积（考虑正负号）为 \(\int_a^bf(x)dx=\int f(x)dx|_a^b=F(b)-F(a)\)

一个函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 中的平均值等于其面积除以区间长，即 \(\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}\)，这可以理解为函数 \(F(x)\) 图像上 \([a,b]\) 内的平均斜率，这等于线段 \((a,F(a))-(b,F(b))\) 的斜率

参考

微积分的本质 - 08 - 积分与微积分基本定理