隐函数求导

以下只讨论 \(xOy\) 平面上的隐函数

部分表述不太严谨

隐函数

满足 \(f(x,y)=0\) 的 \((x,y)\) 的轨迹为其图象

一般一个 \(x\) 对应多个 \(y\)（这也是为什么其不是“函数”而是“隐函数”）

例如半径为 \(1\) 的圆，方程为 \(x^2+y^2-1=0\)，这就是一个隐函数

求导

实际上是要用 \(x\) 和 \(y\) 表示出 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\)

形式 1

等价于求解 \(f(x+\mathrm dx,y+\mathrm dy)=f(x,y)\)，将 \(x\) 和 \(y\) 看做常数，\(\mathrm dx\) 和 \(\mathrm dy\) 看做变量

例如 \(x^2+y^2-1=0\)，转化为求解

\[(x+\mathrm dx)^2+(y+\mathrm dy)^2-1=x^2+y^2-1 \]

等价于

\[(x+\mathrm dx)^2+(y+\mathrm dy)^2-1=x^2+y^2-1 \]

化简得

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac xy \]

形式 2

将 \(f(x,y)=0\) 的两侧分别替换为 \(x\) 增加 \(\mathrm dx\)，\(y\) 增加 \(\mathrm dy\) 后 \(f(x,y)\) 的增加量，并使之为 \(0\)，得到 \(\mathrm dx\) 与 \(\mathrm dy\) 的关系

例如 \(f(x,y)=\sin(x)y-y^2\)，转化为

\[\sin(x)\mathrm dy+\cos(x)\mathrm dx\,y-2y\mathrm dy=0 \]

得到

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\cos(x)y}{2y-\sin(x)} \]

应用

可以从已知的导数推出未知的导数

例如已知 \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}e^x=e^x\)，则可以据此计算出 \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln x\)

令 \(y=\ln x\)

则 \(e^y=e^{\ln x}=x\)

将其视为隐函数并求导，得到 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac1{e^y}=\frac 1x\)

从而得到 \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln x=\frac1x\)

参考

1. 【官方双语】微积分的本质 - 06 - 隐函数求导是怎么回事？
2. 隐函数 百度百科