左偏树

一种可并堆，支持高效合并

令 dis[x] 为从节点x出发可以向右走的最大步数，左偏性质为满足任意节点左儿子的 dis 不小于右儿子的 dis

定义

• 外节点为只有不超过 \(1\) 个儿子的节点，
• 距离为一个节点到离它最近的外节点的路径的权值和，外节点距离为 \(0\)，空节点距离为 \(-1\)
• 左偏树的距离为其根节点的距离

存储

每个节点存储：

• val：权值
• l，r：左右儿子
• dis：距离
• f：父亲

操作

merge

合并两个左偏堆，返回合并后的根节点

merge(x,y) 流程：（x，y 为根节点）

1. 若其一为空，则返回另一个
2. 若 val[x]>val[y]，则交换 x,y
3. 将 r[x] 与 y 合并，并将 r[x] 设为合并后的根节点
4. 若 dis[r[x]]>dis[l[x]] 则交换两个儿子
5. 更新 dis[x]
6. 返回 x

时间复杂度为 \(O(1)\) 到 \(O(\log n)\)

top

返回堆顶，即根节点权值，时间复杂度 \(O(1)\)

del

删除根节点

del(x) 流程：

1. 临时变量备份左右子树下标
2. 清空根节点的权值（设为 -1，不清除问题也不大）和左右儿子指针
3. 合并左右子树

remove

删除任意节点（任意编号的节点，一般的可合并堆不支持删除给定权值的节点）

remove(x) 流程：

1. 类似 del 操作，删去自己并合并两个儿子
2. 若有父节点，则比较其两个儿子的 dis，若需要交换则交换，并跟新其 dis；否则结束
3. 若父节点 dis 不变，则结束
4. 否则继续向上跟新

时间复杂度 \(O(\log n)\)

需要额外保存真正的父亲

全堆操作

若不改变相对大小关系（加减，乘非负整数，除以正整数），则直接在根打标记即可。否则需要重构整个堆

总代码

洛谷模板题提交记录

数组版：

int l[], r[], f[];//左右儿子和父亲（注：此处的父亲为某个祖先，不一定要是真正的父亲，用并查集维护以快速找到堆顶）
int val[], ds[];//权值和左偏树的 `ds`
int find(int x){
    return x == f[x]? x : f[x] = find(f[x]);
}
int merge(int x, int y){
    if (!x || !y)return x | y;
    if (val[x] > val[y])swap(x, y);
    r[x] = merge(r[x], y);
    if (ds[l[x]] < ds[r[x]])swap(l[x], r[x]);
    ds[x] = ds[r[x]] + 1;
    f[l[x]] = f[r[x]] = f[x] = x;
    return x;
}
void del(int x){
    val[x] = -1;
    f[l[x]] = l[x], f[r[x]] = r[x];
    f[x] = merge(l[x], r[x]);
}
int top(int x){
    return val[find(x)];
}

参考

1. 【笔记】左偏树
2. 【学习笔记】左偏树
3. oi-wiki 左偏树