配对堆

储存

用 儿子-兄弟表示法 储存，一个节点的所有儿子节点形成一个单向链表。每个节点存储值，第一个儿子的指针，下一个兄弟的指针

任意一个儿子的值都不小于父亲

任何一个满足堆性质的树都是一个合法的配对堆

操作

查询最小值

直接返回堆顶，\(O(1)\)

合并(meld)

若有一个为空则直接返回另一个。否则令两个根节点值较小的为新根节点，较大的插入新根节点的儿子节点链表第一个，时间复杂度 \(O(1)\)

一个节点的儿子链表是按插入时间排序的，即最右边的节点最早成为父节点的儿子，最左边的节点最近成为父节点的儿子

插入

视为一个新的配对堆和原堆合并即可，\(O(1)\)

删除最小值

删去根节点后，将儿子们两两配对并合并（这也是名字的由来），再将合并后的若干堆从右往左（从老到新，否则复杂度会失去保证）依次合并起来

定义函数 merges(x) 表示合并一个节点和它的所有兄弟后新的根节点：

• 该树为空或没有下一个兄弟则直接返回
• 否则令 \(y\) 为根节点 \(x\) 的下一个兄弟，令 \(c\) 为 \(y\) 的下一个兄弟
• 拆散链表，即将 \(x\) 和 \(y\) 指向下一个兄弟的指针置空
• 配对并合并 \(x\) 和 \(y\)，递归合并 \(c\) 和它的兄弟，并将两个新树配对并合并，返回合并结果

定义函数 delete_min 为删除最小值后新的根节点指针：

• merges 根节点 \(x\) 的第一个儿子，设新根节点为 \(t\)
• 删除根节点
• 返回 \(t\)

减小一个元素的值

需要为每个节点添加一个父亲指针，当有左兄弟时指向左兄弟，否则指向真正的父亲

上述操作的同时需要维护父亲指针

减小 \(x\) 的值后，显然它和以它为根的子树任满足堆性质，但 \(x\) 的父亲和它之间不一定满足

因此把以 \(x\) 为根的子树分离出来，把它和剩余的部分合并

定义函数 decrease_key 为减小给定指针指向元素的值后新的根节点，传入所在堆的根指针，操作节点指针和新值：

• 跟新节点 \(x\) 的值
• 若 \(x\) 为根则直接返回
• 否则剖出子树 \(x\)。当 \(x\) 为其真正父亲的第一个儿子时，跟新父亲的儿子指针；否则将它从儿子节点链表中删去。并把 \(x\) 的兄弟指针和父亲指针置空
• 配对并合并根和 \(x\)，返回新的根

时间复杂度

已证明证明 meld 和 delete_min 均为均摊 \(O(\log n)\)，decrease-key 操作均摊复杂度下界至少为 \(\Omega(\log\log n)\)

对复杂度上界的估计有：

\(O(1)\) meld

\(O(\log n)\) decrease-key

\(O(2^{2\sqrt{\log\log n}})\) meld 和 decrease-key

前述都是均摊复杂度，不能各取最小，因此不能可持久化

参考

1. 数据结构——配对堆
2. oi-wiki 配对堆