二项堆

二项树

• 度数为 \(0\) 的二项树只包含一个结点
• 度数为 \(k\) 的二项树有一个根结点，根结点下有 \(k\) 个子树，每个子树分别是度数为 \(k-1,k-2,...,0\) 的二项树

度为 \(k\) 的二项树有 \(2^k\) 个节点，其中深度为 \(d\) 的层有 \(C_k^d\) 个节点

二项堆

二项堆是指满足以下性质的二项树的集合：

• 每棵二项树都满足小根堆性质
• 具有相同度数的二项树最多只有 \(1\) 个

包含 \(n\) 个节点的二项堆的构成情况，由 \(n\) 的二进制表示确定。第 \(i\) 位为 \(1\) 表示存在一个度为 \(i\) 的二项树，反之不存在

实现

存储

指针式存储，将每个根节点串成链表即可

合并

对于两个堆中的两个相同度数的二项树，比较树根的关键字，较大的作为较小的根节点的最左子树，时间复杂度 \(O(1)\)

对于两个堆，按度数从小到大考虑，若两个都不存在当前度数，则结果也不存在；若有一个存在，则直接放入结果中；若两个都存在，则合并为当前度数加 1 的一个新树，继续合并

将两个堆的大小的二进制表示相加，一次进位对应一次合并二项树。显然时间复杂度为 \(O(\log n)\)

插入

将新节点看做一个单独的堆，合并即可。单次 \(O(\log n)\)

查找最小关键字所在结点

显然一定在某一棵二项树的树根

\(O(\log n)\) 扫描每个树根，取最小即可

也可以保存一个指向最小元素的指针，执行其他操作时跟新，即可 \(O(1)\) 查询

删除最小关键字所在结点

找到对应的节点（树根），删去后其子树相当于一个新的二项堆，\(O(\log n)\) 合并即可。总计 \(O(\log n)\)

减小特定结点的值

和普通堆一样，向上调整即可，时间复杂度 \(O(\log n)\)

删除特定节点

将权值置无穷小，向上调整到堆顶，并删除，时间复杂度 \(O(\log n)\)

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由于二项堆各操作为严格 \(O(\log n)\)（或 \(O(1)\)）的，因此可以可持久化

参考

1. 二项堆