数学分析学习笔记

数学分析学习笔记

xs，选了微积分，学的却是数分。

如果有写的不对的地方烦请指正，有些地方简写了。

自然数

皮亚诺公理：

• 0 是自然数
• 如果 \(n\) 为自然数，那么 \(S(n)\) 为自然数，\(S(n)\) 为 n 的后继，亦可以理解为 \(n + 1\)。
• 不存在 \(n \in N, S(n) = 0\)。
• 如果 \(n,m \in N\) 并且 \(S(n) = S(m)\) 那么 \(n = m\)。
• 数学归纳法公理：对于 \(N\) 的子集 \(A\)，如果 \(0\) 属于集合 A，如果 \(n \in A\)，并且 \(S(n) \in A\)。那么 \(A = N\)。

加法定义：

\[n + m = \begin{cases} n & (m = 0)\\ S(n + m') & (m \neq 0) \end{cases} \]

加法结合律：\((n + m) + k = n + (m + k)\)。

证明：

归纳 \((n + m) + 0 = n + (m + 0) = n + m\)。

若 \((n + m) + k = n + (m + k)\)。

有 \((n + m) + S(k)=S((n + m) + k)=S(n + (m + k))=n + S(m + k)=n +(m + S(k))\)

证毕。

引理：\(0 + n = n\)

证明：归纳法 \(0 + 0 = 0\)。若 \(0 + k = k\)，那么 \(0 + S(k) = S(0 + k) = S(k)\)。

引理：\(S(k) + n =S(k + n)\)

证明：\(S(k) + 0 = S(k + 0) = S(k)\)。

\(S(k) + S(n) = S(S(k) + n)=S(S(k + n))=S(k + S(n))\)。

加法交换律：\(n + m = m + n\)

归纳：\(n + 0 = 0 + n = n\)，若 \(n + k = k + n\)，则 \(n + S(k) = S(k) + n\)。

证明：

\(n + S(k) = S(n + k) = S(k + n) = S(k) + n\)。

加法消去律：\(a + b=b+c \to a=c\)

归纳：\(a + 0 = 0+c\Leftrightarrow a = c\)，\(a+S(k)=S(k)+c\Leftrightarrow S(a + k)=S(k+c)\Leftrightarrow a + k=k+c \Leftrightarrow a=c\)

乘法定义：

\[n \times m = \begin{cases} 0 & (m = 0)\\ n \times m' + n & (m \neq 0) \end{cases} \]

引理：\(a\times 0=0 \times a\)

归纳：\(0 \times0 =0\)，\(0 \times S(k) = 0\times k + 0=0\)。

引理：\(a \times b+b = S(a) \times b\)

归纳：\(b = 0\)，\(a \times S(b) + S(b)=a \times b + a + S(b)=S(a \times b+b)+a=S(a)\times b+S(a)=S(a)\times S(b)\)

乘法交换律：\(ab=ba\)

归纳：\(a \times 0 = 0 \times a\)，\(a \times S(k) = a \times k + a=k \times a + a = S(k) \times a\)

乘法分配律：\(a(b+c)=ab+ac\)

归纳：\(a \times (b + 0) = ab\)，\(a(b+S(c))=aS(b+c)=a(b+c)+a=ab+ac+a=ab+aS(c)\)

乘法结合律：\((nm)k = n(mk)\)

证明：

\(nm0=n(m0)=0\)，如果 \(nmk=n(mk)\)，那么 \(nmS(k)=n(mS(k))\)。

\(nmS(k)=nmk+nm=n(mk+m)=n(mS(k))\)

定义正整数：\(N \setminus \set 0\)

序：对于两个自然数 \(n,m\) 定义 \(n > m\) 当且仅当存在正整数 \(k\) 使得 \(m + k = n\)。\(n \ge m\) 存在自然数。

序的性质：

• 自反性 \(a \ge a\)
• 传递性 \(a \ge b \ge c\)
• 反对称性 \(a \ge b,b \ge a \to a=b\)
• 加法不影响序 \(a \ge b \to a + c \ge b + c\)
• 乘法不影响序 \(a > b \and c \neq 0 \to ac > bc\)

都很好证明

定理：对于 \(a,b\) 必有 \(a < b\)，\(a = b\)，\(a > b\) 其中之一成立。

乘法消去律：\(ac=bc \and c \neq 0\to a=b\)。由于 \(a,b\) 之间存在序，乘法保持序不变，所以 \(a = b\)。

带余除法： 对于自然数 a 和正整数 b 存在 k，r 满足 \(a = kb +r\quad (b > 0,0 \le r < b)\)

对 n 归纳即可。

整数

形式定义 \(a - b\) 来得到的

有理数

形式定义 \(a / b\) 来得到的。

域

域是一个集合 F，具备加法和乘法两种运算，满足：

加法和乘法具有交换律和结合律，分配律，并分别有单位元 0，1，且 \(1 \neq 0\)。

对任意 \(x \in F\)，存在加法逆元 \(-x \in F\)，\(x + (-x)=0\)

对 \(\forall x \in F \setminus \{x\}\)，存在乘法逆元 \(x^{-1} \in F\) 使得 \(x \times x^{-1}=1\)

所以一个域上进行加减乘除

序域

当域撞上序关系。

对于任意 \(x, y \in F\)，\(x \le y, y \le x\) 至少有一个成立。

满足自反，传递，反对称性。对（正数）乘法和加法保序。

界

设 F 是一个序域，设 A 是 F 的一个子集。

称 A 有界，如果存在 \(M \in F\) 满足 \(x \in A \to |x| \le M\)。

上下界不再给出定义，注意空集的界是任意的。

注意：有界代表着有上下界

最值与确界

\(\max \min \sup \inf\) 最大值，最小值，上确界，下确界。

当存在最大值时上确界就等于最大值，所以上确界是最大值不存在时的替代品，比如区间 \((2,3)\) 没有最大值，但有上确界。

一个例子

\(A = \{x \in \Q \mid x^2 \le 2\}\)

结论：有界，无上确界（在 Q 中）。

实数域

公理：任何非空有上界的子集都有上确界的序域。

定理：\(\N\) 在 \(\R\) 中无上界。

证明：若 B 是上界，B - 1 则不是，一定有 \(A \in \N > B - 1\)，那么 \(A + 1 \in N >B\) 矛盾。

上下取整的定义：

\[\lceil x \rceil := \inf \{n \in \Z \mid x \le n\}\\ \lfloor x \rfloor := \sup \{n \in \Z \mid n \le x\}\\ \]

有理数在实数中稠密

对任意实数 a < b，存在有理数 r 使得 a < r < b。

证明想法：将 a，b 在数轴上画出来，一定存在巨大的自然数 N 使得 \(a,b \in [-N,N]\)。将这个区间划分成 \(2N^2\) 份，每份长度 \(\frac 1N\)，满足这个长度比 \(b - a\) 要小，这样假设有个人从左端点开始，每次走一份路，第一次大于 a 的位置，不会大于 \(a + \frac 1N\)，小于 b。形式化的写一下即可。

无理数在实数中稠密

对任意实数 a < b，存在无理数 r 使得 a < r < b。

因为存在有理数 t 使得 \(a - \sqrt 2<t<b-\sqrt 2\)。令 \(r = t + \sqrt2\) 即可。

确界公理应用：开方

对于正整数 n 和正数 y，存在唯一正数 x 使得 \(x^n=y\)。

证明：

如果存在，肯定唯一，因为是序域。

现在我们来证明存在，在上面我们说了 \(A = \{x \in \Q \mid x^2 \le 2\}\) 中是上确界，但有上界。

同理，我们设 \(A = \{x \in R \mid x^n < y\}\)，可以证明它的上确界就是 \(\sqrt[n]{y}\)。具体证明使用放缩法。

一个放缩技巧 (0 < b < 1)：

\[(1+b)^n < 1 + 2^nb\\ (1-b)^n > 1 - 2^nb \]