算法及技巧

1. 容斥原理

int n,m,prim[N];
void rc(){
  int ans;
  for(int j=1;i<1<<m;i++){
    int cnt=1,sign=-1;
    for(int j=0;j<m;j++){
      if(i&1<<j){
        if(cnt*prim[j]>n){
          cnt=0;
          break;
        }
        else{
          cnt*=prim[j];
          sign*=-1;
        }
        if(cnt)ans+=n/t*sign;
      }
  return ans;
  }

2.Dilworth定理(偏序集分解定理)

‌Dilworth定理‌，也称为偏序集分解定理，是关于有限偏序集的一个重要定理。该定理断言：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。其对偶形式也成立：对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等于其最小反链划分中反链的数目。‌

最长上升子序列：
最长不降子序列：
-	-
最长下降子序列：
-	-
最长不升子序列：

定义和表述

偏序集是由集合S及其上的一个偏序关系R定义的，记为(S, R)。偏序关系R需要满足自反性、反对称性和传递性。具体来说，对于∀x∈ S，x R x；若x R y且y R x，则x = y；若x R y且y R z，则x R z。在偏序集中，如果两个元素之间存在序关系，则称它们是可比的；否则称为不可比。最大反链是指其中元素相互不可比的最大子集，而最小链划分是指将偏序集分解成若干条链，使得这些链的并集等于原偏序集，且每条链中的元素都是可比的。

证明方法

Dilworth定理的证明通常采用数学归纳法。
当集合S中只有一个元素时，定理显然成立。假设当集合S中有n个元素时定理成立，考虑n+1个元素的情况。设A是一条最长反链，将集合S分为A、D(A)和U(A)三部分，其中D(A)包含所有小于A中元素的元素，U(A)包含所有大于A中元素的元素。由于A是S的最长反链，因此A、D(A)和U(A)也可以划分为若干条链。通过归纳假设，可以证明定理对于n+1也成立。

应用领域

Dilworth定理不仅在组合数学中具有重要意义，还在生物科学等领域有广泛应用。例如，在生物科学中，该定理可以用来推断在mn+1个实验用的小鼠中，要么有m+1个是代代相传的，要么有n+1个是彼此没有亲缘关系的。此外，Dilworth定理在图论和dp等领域也有扩展应用。