[九省联考2018]林克卡特树(DP+wqs二分)

对于k=0和k=1的点，可以直接求树的直径。

然后对于60分，有一个重要的转化：就是求在树中找出k+1条点不相交的链后的最大连续边权和。

这个DP就好。$O(nk^2)$

然后我们完全不可以想到，将best[k]（选择k条链的答案）打表输出，更不可能然后作差分，发现得到的数组是递减的。

这说明：best[k]是一个上凸包。

于是我们可以二分一个斜率去切这个凸包（类似导数），根据切点横坐标与k的大小旋转直线（改变斜率）。

考虑给你一个直线斜率k，怎么找到它和凸包的切点。实际上就相当于将这个凸函数减去y=kx，再求凸包最高点。

感性理解一下，就是相当于在凸包下面画一条直线，然后旋转整个坐标系使这条直线就是x轴，然后正确性就比较显然了。

现在问题就是，如何找到最高点，这成了一个最优性问题，DP方程里可以去掉一维（已选链数不需要记录了）。

这样就可以通过了，复杂度$O(kn\log n)$。这又叫WQS二分。

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P4383

https://blog.csdn.net/izumi_hanako/article/details/80071419

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N=300010;
int n,k,u,v,w,cnt,to[N<<1],nxt[N<<1],val[N<<1],h[N];
ll mid,tot;
void add(int u,int v,int w){ to[++cnt]=v; val[cnt]=w; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; }
struct P{
    ll x,y;
    bool operator < (const P &b) const {return x==b.x? y>b.y : x<b.x;}
    P operator + (const P &b) const {return (P){x+b.x,y+b.y};}
    P operator + (int b) {return (P){x+b,y};}
}dp[3][N];
P upd(P a){ return (P){a.x-mid,a.y+1}; }

void dfs(int u,int fa){
    dp[2][u]=max(dp[2][u],(P){-mid,1});
    for (int i=h[u],v; i; i=nxt[i])
        if ((v=to[i])!=fa){
            dfs(v,u);
            dp[2][u]=max(dp[2][u]+dp[0][v],upd(dp[1][u]+dp[1][v]+val[i]));
            dp[1][u]=max(dp[1][u]+dp[0][v],dp[0][u]+dp[1][v]+val[i]);
            dp[0][u]=dp[0][u]+dp[0][v];
        }
    dp[0][u]=max(dp[0][u],max(upd(dp[1][u]),dp[2][u]));
}

int main(){
    freopen("lct.in","r",stdin);
    freopen("lct.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&k); k++;
    rep(i,2,n) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),tot+=abs(w),add(u,v,w),add(v,u,w);
    ll L=-tot,R=tot;
    while (L<=R){
        mid=(L+R)>>1; memset(dp,0,sizeof(dp)); dfs(1,0);
        if (dp[0][1].y<=k) R=mid-1; else L=mid+1;
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp)); mid=L; dfs(1,0); printf("%lld\n",L*k+dp[0][1].x);
    return 0;
}