[NOI2019]弹跳(KD-Tree/四分树/线段树套平衡树 优化建图+Dijkstra)

本题可以用的方法很多,除去以下三种我所知道的就还有至少三种。

方法一:类似线段树优化建图,将一个平面等分成四份(若只有一行或一列则等分成两份),然后跑Dijkstra即可。建树是$O(n\log n)$的,单次连边是$O(n\log^2 n)$的。

 1 #include<queue>
 2 #include<vector>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 7 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
 8 using namespace std;
 9 
10 const int N=1000010,M=1500010;
11 struct E{ int w,l,r,u,d; }p[N];
12 struct P{ int u,d; };
13 vector<int>G[N];
14 int n,m,W,H,now,dis,x,y,cnt,rt,tot,h[N],to[M],nxt[M],w[M],vis[N],d[N],ch[N][4];
15 bool operator <(P x,P y){ return x.d>y.d; }
16 priority_queue<P>Q;
17 void add(int x,int y,int z){ to[++cnt]=y; nxt[cnt]=h[x]; w[cnt]=z; h[x]=cnt; }
18 
19 void ins(int fa,int &k,int xl,int xr,int yl,int yr,int x,int y){
20     if (x<xl||x>xr||y<yl||y>yr) return;
21     if (!k) k=++tot;
22     if (k!=rt) add(fa+n,k+n,0);
23     if (xl==xr&&yl==yr){ add(k+n,now,0); return; }
24     int xm=(xl+xr)>>1,ym=(yl+yr)>>1;
25     ins(k,ch[k][0],xl,xm,yl,ym,x,y);
26     ins(k,ch[k][1],xl,xm,ym+1,yr,x,y);
27     ins(k,ch[k][2],xm+1,xr,yl,ym,x,y);
28     ins(k,ch[k][3],xm+1,xr,ym+1,yr,x,y);
29 }
30 
31 void link(int k,int xl,int xr,int yl,int yr,int xL,int xR,int yL,int yR){
32     if (!k||xR<xl||xL>xr||yR<yl||yL>yr||d[k+n]<=dis) return;
33     if (xl>=xL&&xr<=xR&&yl>=yL&&yr<=yR){ d[k+n]=dis; Q.push((P){k+n,d[k+n]}); return; }
34     int xm=(xl+xr)>>1,ym=(yl+yr)>>1;
35     link(ch[k][0],xl,xm,yl,ym,xL,xR,yL,yR);
36     link(ch[k][1],xl,xm,ym+1,yr,xL,xR,yL,yR);
37     link(ch[k][2],xm+1,xr,yl,ym,xL,xR,yL,yR);
38     link(ch[k][3],xm+1,xr,ym+1,yr,xL,xR,yL,yR);
39 }
40 
41 int main(){
42     freopen("jump.in","r",stdin);
43     freopen("jump.out","w",stdout);
44     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&W,&H);
45     rep(i,1,n) scanf("%d%d",&x,&y),now=i,ins(0,rt,1,W,1,H,x,y);
46     rep(i,1,m) scanf("%d%d%d%d%d%d",&now,&p[i].w,&p[i].l,&p[i].r,&p[i].u,&p[i].d),G[now].push_back(i);
47     memset(d,63,sizeof(d)); d[1]=0; Q.push((P){1,0});
48     while (!Q.empty()){
49         int u=Q.top().u; Q.pop();
50         if (vis[u]) continue; vis[u]=1;
51         for (int i=0;i<(int)G[u].size();i++)
52             x=G[u][i],dis=d[u]+p[x].w,link(rt,1,W,1,H,p[x].l,p[x].r,p[x].u,p[x].d);
53         For(i,u) if (d[k=to[i]]>d[u]+w[i]) Q.push((P){k,d[k]=d[u]+w[i]});
54     }
55     rep(i,2,n) printf("%d\n",d[i]);
56     return 0;
57 }
四分树

方法二:一维使用线段树,另一维用set维护这行中的每个点。注意到在Dijikstra时,一条边至多被松弛一次,即一个矩阵至多被访问一次,所以访问并更新一个点之后就可以直接将其删去,复杂度$O(n\log^2 n+m\log m)$。

 1 #include<set>
 2 #include<queue>
 3 #include<vector>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<algorithm>
 6 #define ls (x<<1)
 7 #define rs (ls|1)
 8 #define lson ls,l,mid
 9 #define rson rs,mid+1,r
10 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
11 using namespace std;
12 typedef pair<int, int>pii;
13 typedef multiset<pii>::iterator iter;
14 
15 const int N=70010,M=150010,S=(1<<18)+10;
16 int n,m,W,H,x,p,id,yp[N],vis[N],dis[N],h[N],nxt[M],val[M],L[M],R[M],D[M],U[M];
17 multiset<pii>st[S];
18 priority_queue<pii> Q;
19 
20 void ins(int x,int l,int r,int k,int id){
21     st[x].insert(pii(yp[id],id));
22     if (l==r) return;
23     int mid=(l+r)>>1;
24     if (k<=mid) ins(lson,k,id); else ins(rson,k,id);
25 }
26 
27 void del(int x,int l,int r,int id,int d){
28     if (r<L[id] || R[id]<l) return;
29     if (L[id]<=l && r<=R[id]){
30         iter it=st[x].lower_bound(pii(D[id],0)),tmp;
31         while (it!=st[x].end() && it->first<=U[id]){
32             int u=it->second;
33             if (!vis[u]){
34                 vis[u]=1; dis[u]=d;
35                 for (int j=h[u]; j; j=nxt[j]) Q.push(pii(-d-val[j],j));
36             }
37             tmp=it; it++; st[x].erase(tmp);
38         }
39         return;
40     }
41     int mid=(l+r)>>1; del(lson,id,d); del(rson,id,d);
42 }
43 
44 int main(){
45     freopen("jump.in","r",stdin);
46     freopen("jump.out","w",stdout);
47     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&W,&H);
48     rep(i,1,n) scanf("%d%d",&x,&yp[i]),ins(1,1,W,x,i);
49     rep(i,1,m) scanf("%d%d%d%d%d%d",&p,&val[i],&L[i],&R[i],&D[i],&U[i]),nxt[i]=h[p],h[p]=i;
50     dis[1]=0; vis[1]=1;
51     for (int i=h[1]; i; i=nxt[i]) Q.push(pii(-val[i],i));
52     while (!Q.empty()){
53         pii ed=Q.top(); Q.pop();
54         int dis=-ed.first; id=ed.second; del(1,1,W,id,dis);
55     }
56     rep(i,2,n) printf("%d\n",dis[i]);
57     return 0;
58 }
线段树套set

方法三:类似方法二地,用KD-Tree优化建图,树上每个点新建一个新点,每个叶子连向这个坐标对应的点。同样在Dijkstra时,每次访问并更新时删除这个点。复杂度可能可以用一些做到$O(n\log^2 n)$,但这里没用。

 1 #include<set>
 2 #include<queue>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<vector>
 5 #include<cstring>
 6 #include<algorithm>
 7 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 8 using namespace std;
 9 
10 const int N=70010,inf=0x3f3f3f3f;
11 int n,m,w,h,rt,D,cnt,id[N*2],dis[N*2],vis[N*2];
12 int nu,nt,xl,xr,yl,yr,nd[N*2],len;
13 
14 struct data{
15     int nt,xl,xr,yl,yr;
16     bool operator>(const data &b)const{ return nt>b.nt; }
17 };
18 
19 vector<data>f[N*2];
20 priority_queue<data,vector<data>,greater<data> >Q;
21 
22 struct P{
23     int x[2],id;
24     bool operator<(const P&b)const{ return x[D]!=b.x[D] ? x[D]<b.x[D] : x[D^1]<b.x[D^1]; }
25 }p[N];
26 
27 struct Tr{ int mx[2],mn[2],lc,rc,siz; }t[N*2];
28 
29 void upd(int u){
30     t[u].mn[0]=t[u].mn[1]=inf;
31     t[u].mx[0]=t[u].mx[1]=-inf;
32     t[u].siz=1; int v=t[u].lc;
33     if (v){
34         t[u].siz+=t[v].siz;
35         t[u].mx[0]=max(t[u].mx[0],t[v].mx[0]),t[u].mx[1]=max(t[u].mx[1],t[v].mx[1]);
36         t[u].mn[0]=min(t[u].mn[0],t[v].mn[0]),t[u].mn[1]=min(t[u].mn[1],t[v].mn[1]);
37     }
38     v=t[u].rc;
39     if (v){
40         t[u].siz+=t[v].siz;
41         t[u].mx[0]=max(t[u].mx[0],t[v].mx[0]),t[u].mx[1]=max(t[u].mx[1],t[v].mx[1]);
42         t[u].mn[0]=min(t[u].mn[0],t[v].mn[0]),t[u].mn[1]=min(t[u].mn[1],t[v].mn[1]);
43     }
44 }
45 
46 int bud(int l,int r,int wd){
47     int u=++cnt,mid=(l+r)>>1;t[u].siz=1;
48     if (l==r){
49         id[u]=p[l].id;
50         t[u].mn[0]=t[u].mx[0]=p[l].x[0];
51         t[u].mn[1]=t[u].mx[1]=p[l].x[1];
52         return u;
53     }
54     bool flag=1;
55     rep(i,l+1,r) if(p[i].x[wd]!=p[i-1].x[wd])flag=0;
56     if (flag) wd^=1;
57     D=wd; nth_element(p+l,p+mid,p+1+r);
58     t[u].lc=bud(l,mid,wd^1); t[u].rc=bud(mid+1,r,wd^1);
59     upd(u); return u;
60 }
61 
62 void dfs(int u){
63     if (!t[u].siz)return;
64     if (t[u].mn[0]>xr||t[u].mx[0]<xl||t[u].mn[1]>yr||t[u].mx[1]<yl)return;
65     if (id[u]){ nd[++len]=id[u]; t[u].siz=0; return; }
66     dfs(t[u].lc); dfs(t[u].rc);
67     t[u].siz=t[t[u].lc].siz+t[t[u].rc].siz;
68 }
69 
70 int main(){
71     freopen("jump.in","r",stdin);
72     freopen("jump.out","w",stdout);
73     memset(dis,63,sizeof(dis));
74     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&w,&h);
75     rep(i,1,n) scanf("%d%d",&p[i].x[0],&p[i].x[1]),p[i].id=i;
76     rt=bud(1,n,0);
77     rep(i,1,m){
78         scanf("%d%d%d%d%d%d",&nu,&nt,&xl,&xr,&yl,&yr);
79         f[nu].push_back((data){nt,xl,xr,yl,yr});
80     }
81     dis[1]=0; vis[1]=1;
82     for(int i=0; i<(int)f[1].size(); i++) Q.push(f[1][i]);
83     while (!Q.empty()){
84         nt=Q.top().nt,xl=Q.top().xl,xr=Q.top().xr,yl=Q.top().yl,yr=Q.top().yr;
85         Q.pop(); len=0; dfs(rt);
86         rep(i,1,len){
87             int u=nd[i];
88             if (vis[u])continue; vis[u]=1;
89             dis[u]=nt;
90             for (int j=0; j<(int)f[u].size(); ++j){
91                 data tp=f[u][j]; tp.nt+=nt; Q.push(tp);
92             }
93         }
94     }
95     rep(i,2,n) printf("%d\n",dis[i]);
96     return 0;
97 }
KD-Tree

 

posted @ 2019-07-30 20:37  HocRiser  阅读(561)  评论(0编辑  收藏  举报