[BZOJ5317][JSOI2018]部落战争(闵可夫斯基和)

对于点集$A$,$B$，闵可夫斯基和$C=\{(x1+x2,y1+y2)|(x1,x2)\in A,(y1,y2)\in B\}$。
由此可知，对于两个凸包$A$,$B$的闵可夫斯基和$C$满足，$C$中的向量是所有$A$中向量与$B$中向量的和的并集。可以证明，$C$也是一个凸包。
现在问题是要求，对于询问向量$\vec{d}$，是否存在$\vec{a}\in A$,$\vec{b}\in B$，使得$\vec{a}=\vec{b}+\vec{d}$。
移项得$\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}$，发现这是$B$中所有向量取反后与$A$的闵可夫斯基和。于是问题转化为，求$A$与$-B$的闵可夫斯基和$C$，并快速判断某个向量是否在$C$内。
求闵可夫斯基和有一个线性算法，正确性不会证明。
先求出$A$和$B$的凸包，再取出凸包上所有的边，这些边显然都分别是已经按极角排好序的向量。
初始时$C$只有一个点$\vec{a1}+\vec{b1}$，其中$a1$,$b1$分别是$A$和$B$凸包中的第一个点。
接下来类似归并排序地，按极角序从小到大依次插入新向量并维护凸包。
最后，凸包的尾部可能会出现一些多余点，直接删除或再求一次凸包即可。
得到凸包$C$后，问题只剩快速判断一个点$P$是否在凸包$C$内了。
很简单，将凸包中点以相对于凸包第一个点的极角序排好，二分找到$P$在其中哪个位置，向量叉积即可判断。
总复杂度$O(n\log n)$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N=200010;
int n,m,q,tot;
struct P{ ll x,y; }s,p[N],p1[N],p2[N],v1[N],v2[N],t[N],a[N];
P operator +(const P &a,const P &b){ return (P){a.x+b.x,a.y+b.y}; }
P operator -(const P &a,const P &b){ return (P){a.x-b.x,a.y-b.y}; }
ll operator *(const P &a,const P &b){ return a.x*b.y-a.y*b.x; }
ll len(P a){ return a.x*a.x+a.y*a.y; }

bool cmp(const P &a,const P &b){ ll k=(a-s)*(b-s); return k ? k>0 : len(a-s)<len(b-s); }

int Graham(P a[],int n){
    rep(i,1,n) t[i]=a[i];
    rep(i,2,n) if (t[i].x<t[1].x || (t[i].x==t[1].x && t[i].y<t[1].y)) swap(t[1],t[i]);
    s=t[1]; sort(t+2,t+n+1,cmp); int top=1;
    rep(i,2,n){
        while (top>1 && (t[top]-t[top-1])*(t[i]-t[top-1])<=0) top--;
        t[++top]=t[i];
    }
    rep(i,1,top) a[i]=t[i];
    return top;
}

bool jud(P x){
    P vx=x-p[1];
    if (vx*(p[tot]-p[1])<0 || vx*(p[2]-p[1])>0) return 0;
    int px=lower_bound(p+2,p+tot+1,x,cmp)-p-1;
    return (x-p[px])*(p[px%tot+1]-p[px])<=0;
}

int main(){
    freopen("bzoj5317.in","r",stdin);
    freopen("bzoj5317.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    rep(i,1,n) scanf("%lld%lld",&p1[i].x,&p1[i].y);
    rep(i,1,m) scanf("%lld%lld",&p2[i].x,&p2[i].y),p2[i].x=-p2[i].x,p2[i].y=-p2[i].y;
    n=Graham(p1,n); m=Graham(p2,m);
    rep(i,1,n-1) v1[i]=p1[i+1]-p1[i]; v1[n]=p1[1]-p1[n];
    rep(i,1,m-1) v2[i]=p2[i+1]-p2[i]; v2[m]=p2[1]-p2[m];
    p[1]=p1[1]+p2[1]; tot=1;
    int l1=1,l2=1;
    while (l1<=n || l2<=m)
        tot++,p[tot]=p[tot-1]+((l1<=n && (l2>m || (v1[l1]*v2[l2]>=0))) ? v1[l1++] : v2[l2++]);
    while (tot>1 && (p[tot]-p[tot-1])*(p[1]-p[tot-1])<=0) tot--;
    s=p[1]; P qs;
    rep(i,1,q) scanf("%lld%lld",&qs.x,&qs.y),printf("%d\n",jud(qs));
    return 0;
}