二叉树的几个性质

在计算机科学中，二叉树（Binary tree）是每个结点最多只有两个子结点（即不存在分支度大于 2 的结点）的树结构。这两个子结点通常被称作“左子结点”和“右子结点”。

命题 \(A\)：二叉树的第 \(n\) 层至多拥有 \(2^{n}\) 个结点（定义根结点所在层数 \(n_0=0\)）。

令 \(C(n)\) 表示二叉树第 \(n\) 层拥有的结点数，则要证命题 \(A\)，即证 \(\forall n\in Z^+_0\)，\(C(n)\leq2^{n}\) 总成立。

当 \(n=0\) 时，\(C(0)\leq2^{0}=1\)，命题成立。

假设 \(n=m\) 时命题 \(A\) 成立，即 \(\exists m\in Z^+_0\)，\(s.t.\ C(m)\leq2^{m}\)，则当 \(n=m+1\) 时：

由定义“二叉树的每个结点最多只有两个子结点”可知，第 \(m+1\) 层的结点个数最多为 \(2·C(m)\)，即 \(C(m+1)\leq2·C(m)\)，

而 \(C(m)\leq2^{m}\)，故 \(C(m+1)\leq2·C(m)\leq2·2^{m}=2^{m+1}\)，即命题 \(A\) 在第 \(m+1\) 层成立。

由数学归纳法， \(\forall n\in Z^+_0\)，命题 \(A\) 总成立。

命题 \(B\)：深度为 \(k\) 的二叉树最大为 \(2^{k+1}-1\)（定义二叉树的大小为二叉树中结点的总数、根结点所在深度 \(k_0=0\)）。

令 \(S(k)\) 表示深度为 \(k\) 的二叉树的结点总数。

由命题 \(A\)，二叉树的第 \(n\) 层至多拥有 \(2^{n}\) 个结点，故 \(\\S(k)=C(0)+C(1)+\cdots+C(k)\leq2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{k}=1×(1-2^{k+1})/(1-2)=2^{k+1}-1\)。

命题 \(C\)：深度为 \(k\) 的满二叉树（完美二叉树）的大小（结点总数）为 \(2^{k+1}-1\)。

对于深度为 \(k\) 的满二叉树，\(C(i)=2^{i}\) 总成立（\(i=\{0,1,2,3,\cdots,k-1,k\}\)），故满二叉树的结点总数 \(\\S(k)=2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{k}=1×(1-2^{k+1})/(1-2)=2^{k+1}-1\)^[1]。

命题 \(D\)：深度为 \(k\) 的完全二叉树的结点个数大于 \(2^k-1\)，小于等于 \(2^{k+1}-1\)。

完全二叉树从根结点到倒数第二层满足完美二叉树，最后一层可以不完全填充。

由命题 \(C\)，对于深度为 \(k\) 的完全二叉树，其从根结点到倒数第二层部分的节点总数为 \(2^k-1\)，最后一层填满的情况下二叉树的结点总数为 \(2^{k+1}-1\)，故完全二叉树的结点个数大于 \(2^k-1\)，小于等于 \(2^{k+1}-1\)。

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1. 类似也不难得到满多叉树的大小，比如高度为 \(k\) 的满三叉树的大小 \(S_t(k)=3^{0}+3^{1}+\cdots+3^{k}=(3^{k+1}-1)/2\) ↩︎