网络流第24题：数字梯形问题解析

本文章同步发表于我的博客

简述题意：

题目中给了你一个$n$行，第$i$行有$m+i-1$个数字，有三种询问：

询问一：让你选择一条路径，是的每个路径不经过重复的点，重复的边，然后经过的点的数字和最大

询问二：在询问一的基础上允许经过重复点

询问三：在询问二的基础上还允许经过重复边

思路分析：

$subtask1:$

询问一让你求出$m$条不重复路径，然后经过的点权和最大，首先找m条不重复路径这里，我这个蒟蒻开始感觉与最小路径覆盖问题有关，后来发现不对，因为你又走不完所有点，所以不要往那上面去想。

建模分析：

首先我们发现这道题的权为点权。

$[1]$那么肯定考虑拆点，拆分为入点和出点，让点权变化为边权，然后由入点向出点连边，连一条流量为$1$，费用为点权的边。建这条边建流量为$1$表示这条边只能被经过一次，也即：这个点只能被经过一次，费用就是统计点权。然后，每个点只能经过一次的条件就满足了。

$[2]$因为初始第一排$m$个点都得经过一次，所以，超级源点$s$向每个点连一条流量为$1$，费用为$0$的边，表示只能经过一次，费用为$0$，则不会计算进最终答案。

$[3]$同理，每个最后一排的点，都有可能被经过一次，注意，这里是可能$($当然对做题没影响就对了$qAQ)$。所以每个最后一排的点的出点向超级汇点$t$连一条边,流量为$1$，费用为$0$，理由同上。

$[4]$接下来就是处理每个点之间的关系，我们发现一个点$(i,j)$可以往他的下方$(i+1,j)$和右下方$(i+1,j+1)$走，也就是这个点和这两个点中间可以连边。但是注意这里的连边是要由出点向入点连。

为什么？开篇提到了不要把这道题与最小路径覆盖连接起来，两道题不一样$($虽然可能只有我这个$SB$蒟蒻是连接起来的$)$。最小路径覆盖，你由入点向出点连，是因为你首先你有一个定理：最小路径覆盖数=总点数-二分图最大匹配数。

这是让你求的是你的路径里的边数，所以跑一次就统计一次答案。但这里不一样，你要统计的是它的费用，你如果直接由出点向入点连边，连完了你就会跑出去，然后你还默认跑了一条路径，这样的答案就不对。

所以你得从出点向入点连边，这样保证你得路径能走完，且统计到答案。然后，由于你每次是向下方的两个点连边，其他点不连边，所以是会保证一定从顶部到底部的。

然后跑一遍最大费用最大流，输出答案即可。

唔，建图应该是这样的$QAQ$：

代码如下：

 ///处理情况1
void subtask1(){
    for(int i=1;i<=m;i++) add(s,spot[1][i],1,0),add(spot[1][i],s,0,0);///s和第一排的m个点连边
    for(int i=1;i<=len[n];i++) add(spot[n][i]+cnt,t,1,0),add(t,spot[n][i]+cnt,0,0);///最后一排的点向t连边

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=len[i];j++){

            add(spot[i][j],spot[i][j]+cnt,1,line[i][j]);
            add(spot[i][j]+cnt,spot[i][j],0,-line[i][j]);///入点向出点连边
            if(i==n) continue;
            add(spot[i][j]+cnt,spot[i+1][j],1,0);
            add(spot[i+1][j],spot[i][j]+cnt,0,0);///上下关系连边

            add(spot[i][j]+cnt,spot[i+1][j+1],1,0);
            add(spot[i+1][j+1],spot[i][j]+cnt,0,0);///上下关系连边
        }
    }

    EK(s,t);
    printf("%lld\n",mincost);
}
...
signed main(){

    read(m),read(n);///先读入m后读入n
    now=m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        len[i]=now;/// 统计每一排可能会有多少个数
        for(int j=1;j<=now;j++){
            read(line[i][j]);  ///读入点的点权
            spot[i][j]=++cnt; ///记录这个点是第几个点，总共有几个点
        }
        now++;
    }
    
}

$subtask2:$

这里只要你把上面的$subtask1$的思路弄懂了，那这边就很简单了，这里可以经过重复点。那就把最后一排与$t$的流量设为$INF$，然后入点和出点之间连边的流量设为$INF$，同样跑一边最大费用最大流即可$qwq \ $。

$code:$


void subtask2(){
    num=1;
    memset(first,0,sizeof(first));
    memset(v,0,sizeof(v));
    memset(flow,0,sizeof(flow));
    memset(cost,0,sizeof(cost));
    memset(nex,0,sizeof(nex));

    for(int i=1;i<=m;i++) add(s,spot[1][i],1,0),add(spot[1][i],s,0,0);///s和第一排的m个点连边

    for(int i=1;i<=len[n];i++) add(spot[n][i]+cnt,t,INF,0),add(t,spot[n][i]+cnt,0,0);///最后一排的点向t连边

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=len[i];j++){

            add(spot[i][j],spot[i][j]+cnt,INF,line[i][j]);
            add(spot[i][j]+cnt,spot[i][j],0,-line[i][j]);///入点向出点连边

            if(i==n) continue;
            add(spot[i][j]+cnt,spot[i+1][j],1,0);
            add(spot[i+1][j],spot[i][j]+cnt,0,0);///上下关系连边

            add(spot[i][j]+cnt,spot[i+1][j+1],1,0);
            add(spot[i+1][j+1],spot[i][j]+cnt,0,0);///上下关系连边
        }
    }
    mincost=0;
    EK(s,t);
    printf("%lld\n",mincost);

}

$subtask3:$

这里没有其他的限制了，哇噻，那就很开心了，除了第一排$m$个点与源点$s$的边，其他流量均设为$INF$，那就完事了$QWQ$。

$code:$

void subtask3(){
    num=1;
    memset(first,0,sizeof(first));
    memset(v,0,sizeof(v));
    memset(flow,0,sizeof(flow));
    memset(cost,0,sizeof(cost));
    memset(nex,0,sizeof(nex));

    for(int i=1;i<=m;i++) add(s,spot[1][i],1,0),add(spot[1][i],s,0,0);///s和第一排的m个点连边

    for(int i=1;i<=len[n];i++) add(spot[n][i]+cnt,t,INF,0),add(t,spot[n][i]+cnt,0,0);///最后一排的点向t连边

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=len[i];j++){

            add(spot[i][j],spot[i][j]+cnt,INF,line[i][j]);
            add(spot[i][j]+cnt,spot[i][j],0,-line[i][j]);///入点向出点连边

            if(i==n) continue;
            add(spot[i][j]+cnt,spot[i+1][j],INF,0);
            add(spot[i+1][j],spot[i][j]+cnt,0,0);///上下关系连边

            add(spot[i][j]+cnt,spot[i+1][j+1],INF,0);
            add(spot[i+1][j+1],spot[i][j]+cnt,0,0);///上下关系连边
        }
    }

    mincost=0;
    EK(s,t);
    printf("%lld\n",mincost);
}

题解过水，请别骂，因为我也发现自己好傻，其实这个好简单的。

posted @ 2021-02-10 10:31 edds 阅读(166) 评论(0) 收藏举报

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简述题意：

思路分析：

\(subtask1:\)

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