洛谷 P5110 块速递推

题目大意：

给定一个数列a满足递推式

\(An=233*an-1+666*an-2,a0=0,a1=1\)

求这个数列第n项模\(10^9+7\)的值，一共有T组询问

\(T<=10^7\)

\(N\)为\(64\)位正整数

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首先感谢出题人的好心，凑了一个好模数，有循环节，于是复杂度骤降

麻麻我会矩阵快速幂！

时间复杂度约为\(O(T*log_{2}n)\)

但很抱歉，时间复杂度仍然不过关。

因为，丧心病狂的出题人把T开到了\(10^7\)!!!

预计得分\(6*1=6\)

这意味着，我们需要在\(O(1)\)的时间内求出每一次询问的值

考虑这样一种做法

我们将初始矩阵的n次方进行分块处理

设初始矩阵为\(A\)

即求出\(A^1,A^2……A^{len-1}\)，记为\(S\)

以及\(A^{len},A^{len*2}……A^{len*len}\)，记为\(P\)

然后我们会发现，这两个对应的矩阵序列都可以在\(O(\sqrt{n})\)的时间范围内递推出来
最后答案即为\(S[n-n/len]*P[n/len]\)

时间复杂度为\(O(T+\sqrt{n})\)

预计得分\(100\)

参考代码（极丑，勿喷）

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
unsigned long long SA,SB,SC;
void init(){scanf("%llu%llu%llu",&SA,&SB,&SC);}
unsigned long long r()
{
        SA^=SA<<32,SA^=SA>>13,SA^=SA<<1;
        unsigned long long t=SA;
        SA=SB,SB=SC,SC^=t^SA;return SC%(mod-1);
}
ull a[5][5][35000],b[5][5][35000],ans[5][5],tmp[5][5];

int main()
{
    //freopen("w.txt","r",stdin);
    a[1][1][0]=1;
    a[1][2][0]=a[2][1][0]=0;
    a[2][2][0]=1;
    a[1][1][1]=233;
    a[1][2][1]=666;
    a[2][1][1]=1;
    a[2][2][1]=0;
    for(register int g=2;g<=32000;++g)
        for(register int i=1;i<=2;++i)
        	for(register int k=1;k<=2;++k)
            	for(register int j=1;j<=2;++j)
                	a[i][j][g]=(a[i][j][g]+(a[i][k][g-1]*a[k][j][1])%mod)%mod;
    b[1][1][0]=b[2][2][0]=1;    	
    b[1][1][1]=a[1][1][32000];
    b[1][2][1]=a[1][2][32000];
    b[2][1][1]=a[2][1][32000];
    b[2][2][1]=a[2][2][32000];
    for(register int g=2;g<=32000;++g)
        for(register int i=1;i<=2;++i)
        	for(register int k=1;k<=2;++k)
            	for(register int j=1;j<=2;++j)
                	b[i][j][g]=(b[i][j][g]+(b[i][k][g-1]*b[k][j][1])%mod)%mod;
    ull t;
    scanf("%llu",&t);
    init();
    int tot=0;
    for(register int g=1;g<=t;++g)
    {
    	int q=r()-1;
    	if(q==-1) continue;
        tot^=((a[1][1][q%32000]*b[1][1][q/32000])%mod+(a[1][2][q%32000]*b[2][1][q/32000])%mod)%mod;
    }
    printf("%llu",tot);
}