莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

(难得百度爬虫对我这篇垃圾的待重写博客这么友好,赶快重写了)

(还没写完呢,只是重写了之前的内容,还有新增。 2020.05.11)

前置芝士

极高的数学造诣与不怕劳累的精神

正文

莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容,可以用于解决很多组合数学的问题。——「百度百科」

考虑这样两个函数 \(F(n),f(n)\),它们的关系是 \(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\)

我们可以手模出一些函数值如:

\(F(1)=f(1)\)

\(F(2)=f(1)+f(2)\)

\(F(3)=f(1)+f(3)\)

\(F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)\)

我们尝试用 \(F(n)\) 来表示 \(f(n)\)

\(f(1)=F(1)\)

\(f(2)=F(2)−F(1)\)

\(f(3)=F(3)-F(1)\)

\(f(6)=F(6)−F(3)−F(2)+F(1)\)

我们发现存在一个这样的关系式:\(f(n)=\sum_{d|n}F(d)\cdot \alpha(d)\),其中 \(\alpha(d)\) 是一个与 \(d\) 有关的函数。

  • 莫比乌斯函数

    定义 \(\mu(n)\)\(n\) 的莫比乌斯函数。则有

    \[\mu(n)= \begin{cases} 1 & n=1\\ (-1)^k & n=p_1p_2p_3...p_k,p_i \text{ 为 } n \text{ 的质因子且两两互素} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]

    性质一:莫比乌斯函数是积性函数,即对于 \(gcd(a,b)=1\),有 \(\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)\)

    这个感觉挺显然的啊。

    根据这个性质我们可以用用线性筛在 \(O(n)\) 的时间内筛出 \(1 \sim n\) 内所有莫比乌斯函数的值。

    性质二:对于任意正整数 \(n\),有

    \[\sum_{d|n}\mu(d)= \begin{cases} 1 &n=1\\ 0 &n>1 \end{cases} \]

    证明:一个数 \(n\) 的莫比乌斯函数值不为 \(0\) 当且仅当 \(n\) 其质因数分解后所有质因子次数均为 \(1\)。设 \(n\)以内共有质数 \(k\) 个,则含 \(r\) 个质因子的数有 \(\binom k r\) 个。

    于是有 \(\sum_{d|n}\mu(d)=\binom k 0-\binom k 1+\binom k 2+...+(-1)^k\binom k k=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom k i\)

    利用二项式定理可得 \(\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom k i=\sum_{i=0}^{k}\binom k i(-1)^i1^i=(-1+1)^k=0\),证毕。

猜想莫比乌斯函数与 \(\alpha(d)\) 的关系。

发现在 \(f(3)\)\(f(6)\) 的表达式当中 \(F(1)\) 的系数不相同,于是我们猜想 \(\alpha(d)=\mu(\frac n d)\)

\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac n d)F(d) \]

考虑证明。

注意到 \(\frac n d \cdot d\) 为定值,所以原式可变形为

\[\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac n d) \]

我们将 \(F(\frac n d)\) 进行套娃代换,有

\[\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\frac n d}f(i) \]

根据实际意义我们可以发现 \(d|n\)\(i|\frac n d\)\(d\cdot i|n\) 等价,即我们只需要保证 \((\mu(d),F(i))\) 都被统计到答案里面。于是我们将原式进行变形有

\[\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{d\cdot i|n}f(i) \]

交换内外层和式,有

\[\sum_{i|n}f(i)\sum_{d\cdot i|n}\mu(d) \]

根据整除的实际意义继续变换,有

\[\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\frac n i}\mu(d) \]

根据上文提及的性质二,有

\[\sum_{d|\frac n i}\mu(d)= \begin{cases} 1 &i=n\\ 0 &i<n \end{cases} \]

于是有

\[\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac n d)=\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\frac n i}\mu(d)=f(n) \]

得证。

这就是莫比乌斯反演

莫比乌斯反演的另一种基本形式

\[F(n)=\sum_{n|d}f(d)\mu(\frac d n) \]

可以用类似的方法证明得到。

这只是一种证明方式,还可以用狄利克雷卷积证明,下次继续写。

未完待续。

习题

P3455&BZOJ1101 【[POI2007]ZAP-Queries】

posted @ 2019-03-04 18:03  Henry__Huang  阅读(3510)  评论(1编辑  收藏