做题记录高一上联考

2022年

10月26日 周三

线

每个粒子会相撞，求最右边粒子活到最后的概率

dp有几个粒子会往右，最右边粒子直接打穿

配

分治，对于二进制下每一位进行分治处理

10月27日 周四

诗

求：$\sum^{len}_{i=1}x_i\times w^{len-i}$

在dp时翻倍计算，当前增加的值在下一次翻倍会重复计算，计入：cut

10月30日 周日

汉谟拉比

每只五哥有一个值，你将一个数分成$N$分，然后随机分配，求被咬的概率

这里，分配过程互不影响，那么对于一个数$x$,分到$k$只五哥头上会被咬，则期望加上$k \over N$

10月31日 周一

浑数

一个埃氏筛板子，埃氏筛枚举质数筛是：$o(NlnlnN) ;大概就;5N$

iidx

$if \quad i=1\quad f[i]=s[i]\$
$else\quad if(s[i]==1)\quad f[i]=f[i-1]+1\$
$else \quad f[i]=f[i-1]*t$

这东西很骚，最终式子可以写成$y=kx+b$,那么用线段树维护$k,b$

$y=kx+b$这东西可以用矩阵维护线性递推，在线段树上，具有结合律

11月2日 周三

似曾相识

对k二分，场切

送快递

数轴上两个人，一些点，选择一人那物品$i$,问两人走的最短路程

$dp[i][j]$ 表示一人在$i$,一人$j$,的最短路，然后再$i$的人走到最优

水杯

提到结论题，结论是每个柱子的高度差除开和第一棵柱子都是可行方案

这里我们用$bitset$优化，开一个大小为值域的数组，从右往左第$i$表示方案$i$是否可行，$+1$可以表示为<<$1$

10月3日 周四

树哈希

用栈维护节点的出入

删点

树形dp,维护删掉当前点及其子树的代价

上升子序列

每次在序列中随机选择一个为选择过的数，如果当前序列不是上升子序列，终止 问期望步数

这里我们发现每次操作的点是无序的，因此我们无法从左到右进行拓展，可以从中间往左右进行拓展，$dp[i][j]$表示选择了端点$i$和端点$j$，然后只选中间的方案数，我们枚举左右拼接端点进行期望$dp$

10月7号 星期天

画

选择有个点，删掉起点值，要求最小，差分

Gray

老实说，这道题到现在还有点不懂。。。

10月11日 周四

多项式开方

$x^2+2x+1$推出$x+1$

这里我们可以确定原序列的$x_1$,既然最大的已知，那么我们可以通过最大的求出次大，次次大
$$
a_1^{d_1}+a_2+...=(x_1+x_2+...+x_N)(x_1+x_2+...+x_N)
$$
对于$a_2^{d_2}$,可以是
$x_2x_2$，$x_1x_3$,对于$x_2x_2$的情况，我们需要在$x_1*x_3$之前将他删除，可以使用优先队列

11月14日

树的道理

对于每个节点染色，一人黑，一人白，若有黑子周边无白字，先手胜

这里，我们要检查每个节点，可以从下网上减，减到负数为先手

括号序列

对于每个左括号，要求其有括号距离为$[l_i,r_i]$，求最终方案数

AC自动机

怎么说，AC自动机这东西，还是特别妙的，对于fail指针，好像讲错的人还不少

令当前节点为$now$，$fail[now]$指向的节点为$x$,则$root->now$的一部分后缀等于$root->x$的全部

还有，当前节点没有儿子的时候，指向失配父亲的那个儿子，这东西很骚啊，就没有博客涉及，当失配时，我们假定他有这个儿子，那么在接下来的下一次失配时，fail指向的时上上个，从而避免其指向根节点

AC自动机优化：

当我们在记录贡献的时候，是一直跳$fail$，直到到达根节点，这里可以打标记，然后从下往上更新，一路火花带标记

瘟疫

对于一个序列，选择一些点，对于每个被选的点，都可以选择任意相邻的点，要记录选择的点的贡献

这个东西试求最大字段和，不连续。。。

首先缩点，+-+-+-，然后有些正数不选，肯定绝对值最小，负数同理，不选的数，和左右合并，权当删掉，每次时间复杂度$\times {1\over3}$,$O(N)$,

11月16日（1,2）

max

给你一个序列，每个数两个元素$x,y$,$val\in[x,y]$,求两两匹配的$max|x-y|$

说是要你匹配，其实是整体讨论，最终肯定是一半r，一半l，$ans=\sum_i^{N/2}r_i-l_i$

我们先全部记录为$r_i$，则当其变为$li$时，我们需要付出代价为$r_i+l_i$,贪心最小

狼人

找出所有的连通块，要求其中的一种颜色$sum_{ci}\times 2>size_{连通块}$,在一棵树上找，$N\le3000$

这里对每一种颜色分开讨论

$f[i][j]$表示到$i$位置目标颜色减去非目标颜色为$k$,这里我们数组肯能遇到负数，所以

const int MAXN=3e3+3;
int f[MAXN][MAXN];

int *F=f[x]+M;
f[0]=f[x][M];

指针妙用

11月17日(改)

LCM

给你一个1到$N$的序列，求出$a[i]\in [l,r]$的$LCM$为$ci$，数据范围$N\le1e18$

长度为 2 的区间 $[x,x+1]$ 的 lcm 就是 $x*(x+1)$，可以二分

长度为 3 的区间 $[x,x+2]$ 的 lcm 在 $x$ 是奇数时是 $x\times (x+1) \times (x+2)$，偶数是还要除以二。

当长度超过三时，区间$r<1.26e6$,所以对于这之前的，我们暴力枚举计算$LCM$，超过的上面

最大团。。。

虚假的最大团，因为任意一个到处子图都会至少有一个点度数小于$k$，$k\le 10$

这里我们按照$k$，从小到达依次找上门，计算完后删除，我们状压一个点可以到达的点和目标点对，一下条件成立为$0$

if(f[i]&(1<<j)&&(f[i]&s)!=s^(1<<j))

方案

$求2^{2N} mod \ p$,$\color{red}\ {易错点}$:$2^{2N}\equiv 2^{2N \ mod \ q-1}(mod\ p)$

kruskal重构树

对于一个图，我们要找所有路径中权值最小的那一条路径中的最大值，首先，路径最小说明是$kruskal$，而最大，我们就重构一下，对于每次合并的两个$x$,$y$,建一个新点$now$,$w[now]=e[i].v$

性质

1、它是一个二叉堆

2、若边权升序，则它是一个大根堆

3、任意两点路径边权最大值为$Kruskal$重构树上$LCA$的点权

2023年

ARC154

A

和定，差大，积小

B

删掉S开头，放入S任意一个位置，求多少次操作后和T相等

这里随着$i$的增大，在某一个点变成相等，$\color{red}有单调性，二分$

C

两个序列，$A$,$B$,操作$A[i]=A[i+1]$，求是否可以让A等于B，是个环

这里可一以发现，只有B是A的子序列满足要求

D

交互：一个被打乱的$1$到$N$的序列，告诉你$P[i]+P[j]$是否大于$P[k]$，要求你输出每个数的值

首先思考特例$1,\frac{N}{2},N...$

发现$P[i]+1>P[j]$可以推出$P[i]>P[j]$，所以要找$1$

$P[i]+P[i]<=P[j]$,则$i$,更优

过程用归并排序减少比较次数，也可以用$stable_sort()$

ARC153

B

有一个 $H$ 行 $W$ 列的矩阵，矩阵中每个位置都有一个小写字母。每次操作给出 $a,b$，含义是在第 $a,a+1$ 行之间切一刀，再在 $b,b+1$ 列之间切一刀，这样能得到四个矩阵；每个矩阵旋转半周，最后把四个矩阵拼起来得到新矩阵。有 $n$ 次操作，每次形如 $a_i,b_i$，希望输出操作后的矩阵。

$对于x_i,y_i关于a_i,b_i的操作,如果x_i<a_i,x_i=a_i-x_i+1,否则H+a_i-x+1,都mod\ H$

多次操作式子为$a_k-[a_j-(a_i-x+1)+1]+1$
我们可以把和$a$有关的提取出来单独算，那么对于每个点的位置$O(1)$计算

C

给定 $n$ 和一个长度为 $n$ 的序列 $A$，满足 $A_i \in {-1,1}$。

你要尝试求出一个长度为 $n$ 的序列 $x$，满足以下限制：

• $|x_i| \leq 2 \times 10^{12}$；

• 序列严格递增，即 $\forall 1 \leq i < n$，$x_i < x_{i+1}$；

• $\sum_{i=1}^n{A_ix_i} = 0$。

如果存在这样的序列，输出 Yes 和一个满足条件的序列 $x$；如果不存在，则输出 No。

这道题，$emmm...$，当我看到数据范围还是很惊讶的，这不是乱切吗？

对于第一个数，降低是可以把后面所有数的正值拖下去的

D

定义 $f(x)$ 为其十进制意义下各位数字之和，比如 $f(1)=1,f(123)=6$。

给定长度为 $n$ 的序列 $A$，请找到一个非负整数 $x$ 使得 $\sum\limits_{i=1}^nf(A_i+x)$ 最小，并输出这个最小值。

$dp[i][j]$表示当前枚举到第$i$位，向前进位$j$个的最小贡献，第一遍计算贡献，第二遍计算向前进位的贡献，当前是第$i$位，按照第$i-1$位排序

2月1日

烤串

$Q$次查询，每次查找一个区间，求区间中回文串数量

对于以每个点为中心的回文串，$logN$可以解决，通过$Hash$二分

对于每个点，是一条线段，查询线段长度，用区间修改主席树，标记永久化

乘积筛

$$
ans=\sum_{1\le x\le N,1\le y\le M,ic+jy=C}a_xb_y
$$

$\color{red}可以用exgcd?得看看$

暴力记忆化

2月3日

饼干

有$n$种饼干，第$i$种饼干有$a_i$块。你需要尽快吃掉这些饼干，但是你吃饼干时必须满足一个特殊限制:

假设你第$i$天吃掉第$j$种饼干$b_{i,j}$块，则$\forall i,2\max_{1\le j\le n}b_{i,j}=\sum_{j=1}^nb_{i,j}$。

构造一个吃完饼干的方案或者报告无解(当你不能吃完这些饼干时)。如果有解，你需要在$\lceil\frac{n}{2} \rceil $天内吃完饼干以得到满分。

被吃完只可能其中最大的不超过一半，对着这个目标选择加上删减

2月10日

选择

选择一些数，要求出现次数最多的等于剩下的，求删除这个序列的最少次数

每次选择最大的数，删到等于第二个，然后从后往前删完，构造题，没什么好说的

原题

给你一个$1e18$的数，和它的欧拉函数，进行分解质因数

$$
\phi(ij)=\phi i \times \phi j \
\phi(ii*j)=\phi i \times \phi j \times i\
$$

2月12日

游戏

一个点的值是到这个点最大的必经边的值

这里引入一个概念$\ \ \ \color{red}支配$

我们记录一个点的最大必经边，从根节点开始往下搜，其中，离根节点的边权不但大而且更有可能合法，这里是贪心

而要一个点背更新完再去其他边，拓扑

数位

找到一个区间异或起来值为$k$的点对数量

$ \color{red}"数位dp，是一种上限低，下限高的题目",lc说。$

首先是固定dp方程设计$dp[i][j][n][m]$，表示到$i$位，有$k$个不同数，$n,m$表示有没有到达上限

转移过程这里有一种

add(f[i][k][0][0],f[i+1][k][1][1]);
add(f[i][k][0][0],f[i+1][k][1][0]);
add(f[i][k][0][0],f[i+1][k][0][1]);
......

共计$8\times 8=64$种转移方案。。。。。。溜了溜了

接下来是正戏

    for(int i=30;i>=0;--i) for(int k=0;k<=30;++k)
        for(int a=0;a<2;++a) for(int b=0;b<2;++b)
            for(int n=0;n<2;++n) for(int m=0;m<2;++m){
                    if((a&&(x>>i&1)<n) || (b&&(y>>i&1)<m)) continue;
                    int ai=0,bi=0;
                    if(n==(x>>i&1)) ai=1&a;
                    if(m==(y>>i&1)) bi=1&b;
                    add(f[i][k+(m^n)][ai][bi],f[i+1][k][a][b]);
                }

首先，$a,b$是上一个有没有到达界限，$n,m$是当前枚举的值，不合法的情况$if$判掉就行