BZOJ#4031. [HEOI2015]小Z的房间

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Problem：

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。 

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。 

 

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Solution：

套路先求出A(邻接矩阵)，D(度数矩阵)

C(基尔霍夫矩阵) C=D-A

 

现在就是要求C的cnt-1阶行列式了

Guass

里面有一个问题就是这些是整数，直接相除精度损失会很严重

所以考虑用辗转相除的思想

比如

5

7

a=5 b=7 

a=7 b=5

a=2 b=5

a=5 b=2

a=1 b=2

a=1 b=0

不停得交换两行，我们要记录一下交换的次数

因为Matrix-tree有个性质是交换一次行列式的值会变成相反数

 

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附上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105,M=105;
const int mod=1e9;
int n,m;
char s[N][M];
int id[N][M],cnt,A[N][M],D[N][M];
long long C[N][M];
int px[4]={0,1,0,-1};
int py[4]={1,0,-1,0};
int guass()
{
    long long ans=1,f=1;//f记录交换了多少次行，有个性质是，每交换两行值，行列式变成相反数
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=cnt;j++)
        {
            long long a=C[i][i],b=C[j][i];//因为要整数 我们采用辗转相除的方法得到答案 一直到b为0 即可  
            while(b!=0)
            {
                long long t=a/b;a%=b;swap(a,b);
                for(int k=i;k<=cnt;k++) C[i][k]=(C[i][k]-C[j][k]*t%mod+mod)%mod;
                for(int k=i;k<=cnt;k++) swap(C[i][k],C[j][k]);
                f=-f;
            }
        }
        if(!C[i][i]) return 0;
        ans=ans*C[i][i]%mod;//累乘对角线的值
    }
    if(f==-1) return (mod-ans)%mod;//如果交换的是奇数 那么就要变号
    else return ans;
}

int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",&s[i][1]);
    for(int i=0;i<=n+1;i++)
        for(int j=0;j<=m+1;j++)
        if(i==0||j==0||i==n+1||j==m+1) s[i][j]='*';
    for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=m;j++)
         if(s[i][j]=='.') id[i][j]=++cnt;
         
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(s[i][j]=='.')
            {
                for(int k=0;k<4;k++)
                {
                    int tx=i+px[k],ty=j+py[k];
                    if(s[tx][ty]!='.') continue;
                    int u=id[i][j],v=id[tx][ty];
                    A[u][v]=1;D[u][u]++;//获得邻接矩阵和度数矩阵
                }
            }
        }
    cnt--;//去掉最后一行和最后一列
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        C[i][j]=((D[i][j]-A[i][j])%mod+mod)%mod;//基尔霍夫矩阵
        
    printf("%d\n",guass());
    
    return 0;
}