BZOJ#2154. Crash的数字表格

---

2154: Crash的数字表格

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MB
Submit: 5432  Solved: 1973

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。

 

---

problem:

给定n,m求Σlcm(a,b) (a<=n&&b<=m)

 

---

solution：

我们要求的式子：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

化解一下：

　　　　　　　　　　　　   　　　　　  

 

 

我们考虑枚举gcd：

　　　　　　　　　　　　　

 

再化解一下：

　　　　　　　　　　　　　

乘以是因为我们把a和b都除以了d，所以算答案时我们要求它的真实值

 

把d提出来：

　　　　　　　　　　　　　　

我们设:

　　　　　　　　　　　　　　=

 

　　　　　　　　　　                则ans=

 

现在来考虑如何求解F

我们再定义一个sum：

　　　　　　　　　

现在我们F是gcd为1的和，而sum是所有值的和

 

根据：

 　　　　　　　　　　　　　　　

我们可得：

　　　　　　　　　　　　

是因为我们的sum的x,y都除以了i，算答案时要用真实的值计算。

 

sum(x/1,y/1)相当于是累加了gcd为一的倍数的所以和

sum(x/2,y/2)累加了gcd为2的倍数的所以的和

.......

正好符合了我们的公式，公式的n=1，i枚举的是gcd

我们就是要求gcd为1的累加和

所以根据公式搞一搞

于是就完成了！

 

---

附上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7+12,M=1e6+12;
const int mod=20101009;
int mu[N],prime[N],cnt,vis[N];
int n,m;
long long s[N];
void getmu()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) 
    {
        if(!vis[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt;j++) 
        {
            if(i*prime[j]>n) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) {mu[i*prime[j]]=0;break;}
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    s[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    s[i]=(s[i-1]+(1LL*mu[i]*i%mod*i%mod))%mod;
}
long long Sum(long long x,long long y)
{
    x=(x+1)*x/2%mod;
    y=(y+1)*y/2%mod;
    return x*y%mod;
}
long long Getf(int x,int y)
{
    int pos;
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=x;i=pos+1)
    {
        pos=min(x/(x/i),y/(y/i));
        ans=(ans+(s[pos]-s[i-1]+mod)%mod*Sum((long long)x/i,(long long)y/i)%mod)%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
//    freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    getmu();
    long long ans=0;
    int pos;
    for(int i=1;i<=n;i=pos+1)
    {
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans=(ans+1LL*(i+pos)*(pos-i+1)/2%mod*Getf(n/i,m/i)%mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}