CF2051E 题解

CF2051E 题解

赛时D +7 卡一个多小时，E读错半小时题，比赛完了才发现。估计是今年干出来的最抽象的事情之一。

实际上时间足够也不一定能够在场上做出来E，我感觉这是一道很妙的转化。

题意

每个人有 \([a_i,b_i]\) 的一个价格，如果商品价格在 \([1,a_i]\) ，则这个人会购买并且留下好评；如果价格在 \((a_i,b_i]\) ，则会购买并且留下差评；其他情形下不会购买。

现在给定一个 \(k\) ，最多收到 \(k\) 个差评的情况下，制定一个对每个人都一样的价格，使得最后的收益最大。

分析

很显然是不具有单调性的，所以二分价格或者是差评人数之类的是行不通的。

转化1

要明确的两点是：

1.如果最后一个价格没有被任何区间包含，那完全可以把它提高到离他最近的一个 \(a_i\) ，这样差评不会增加，并且答案是这个差评数下可能的最大值。

2.如果说有一个价格被包含了，不在 \(a\) 上，但是不与任何一个 \(b_i\) 重合，倘若这种情况下给出差评的人不超过 \(k\)，那么完全可以把这个价格提高到最近的 \(b_i\) ，这样给差评的人也不会增加，并且可能是最大的答案。

所以综上所述，最优答案的价格仅可能在端点处取，只用枚举每个端点就可以了。

转化2

对于每个价格，又该怎么计算会购买的人数，和会给差评的人数？

会购买的人数很好计算，就是满足 \(b_i\ge price\) 的人数。

给差评的人数可以抽象成如下问题，给出坐标轴上一个点，问在若干条线段里，有多少条包含了该点，如下图。

在所有会购买，也就是右端点在红线之后的线段中（记有 \(nums\) 条），不会给出差评的，其实就是所有左端点在红线之后的线段条数（记为 \(good\) ），他们的右端点也一定在红线之后，所以包含在了 \(nums\) 中。很显然地就可以算出给出差评的人数 \(bad=nums-good\) 。

这一个过程可以直接分别对于 \(a,b\) 数组进行排序，不用维护顺序，然后二分查找即可。