最大异或子序列问题

问题是这样的:

给定一个整数序列,要求出其最大异或子序列

受到最大和子序列的启发,我首先就尝试 DP

然而 WA 掉了。。。

很明显,这个问题没有最优子结构

异或可以抵消,因此最大的可以抵消成最小的,非常不好 :(

然后我尝试贪心

先给数字排序,然后从大到小选取使当前答案变大的加入进去

也 WA 掉了 :(

很显然,每次我们都是取到第 i 位为 1 的最大的数字

这样能保证答案最大吗?并不能

hack:1110, 1000, 0100, 0010, 0001

正解是按位贪心,具体算法如下:

for (int i = 62; i >= 0; i--) {
  for (int j = 1; j <= n; j++) {
    if ((a[j] >> i) & 1) {
      if (((ans >> i) & 1) == 0) {
        ans ^= a[j];
      }
      for (int k = 1; k <= n; k++) {
        if (((a[k] >> i) & 1) && k != j) {
          a[k] ^= a[j];
        }
      }
      a[j] = 0;
      break;
    }
  }
}

初看似乎也是在找第 i 位为 1 的数并入进去

不同之处在于对其它第 i 位为 1 的数的处理:把它们都异或上当前选的数

感性认识一下,这种做法符合最优化的性质:取舍与最大化

事实上可以联想成一种特殊的 DP:

为了使当前结果更大,我需要做一些取舍,并且保证能取到更优解

这与 DP 的思想不谋而合

DP 方程中时常蕴含着对子问题的取舍关系,而这里对异或和的处理也隐藏了取舍

因此这种做法从 DP 的角度考虑是正确的

posted @ 2018-09-12 23:38  蒟蒻lrz  阅读(...)  评论(...编辑  收藏