ARC189 做题记

A (Reversi 2)

题意

在一个由 \(N\) 个格子组成的棋盘上，每个格子从 \(1\) 到 \(N\) 进行编号。

起初，第 \(i\) 个格子上写有 \(i \bmod 2\) 的数字。你可以进行以下操作若干次（可以是零次）：

• 选择两个满足条件的格子 \(l\) 和 \(r\)（要求 \(l + 1 < r\)），将中间格子 \(l + 1, l + 2, \dots, r - 1\) 上的数字全部改为格子 \(l\) 上的数字。
  • 条件是格子 \(l\) 和格子 \(r\) 上的数字相同。
  • 并且中间的每个格子 \(i\) （\(l < i < r\)）上的数字要与格子 \(l\) 上的不同。

计算最后能使每个格子 \(i\) 上的数字为 \(A_i\) 的操作序列数量，并对结果取 \(998244353\) 的余数。

注：若两个操作序列满足以下任一条件即视作不同：长度不同，或者存在一个正整数 \(t\)，使得操作中第 \(t\) 次选择的 \((l, r)\) 组合不同。

\(1\le N\le 2\times 10^5\)

题解

对于每个连续段考虑贡献，最后乘组合数即可。

贡献是好算的，预处理一下。

\(\bf{record}\)

B (Minimize Sum)

题意

数轴上有 \(N\) 个棋子，最初所有棋子都放置在不同的坐标上，第 \(i\) 个棋子放置在坐标 \(X_i\) 上。

你可以进行以下操作若干次（可以为 \(0\) 次）：

• 选择一个 \(i\) 满足 \(1\le i\le N-3\)，并设 \(M\) 为 \(X_i\) 与 \(X_{i+3}\) 的中点坐标。

• 然后，分别将坐标为 \(X_{i+1}\) 与 \(X_{i+2}\) 的两颗棋子放在原坐标关于 \(M\) 对称的坐标，最后，使坐标较小的棋子的坐标为 \(X_{i+1}\)，另外一个棋子的坐标为 \(X_{i+2}\)。

• 可以证明无论如何重复操作，所有的棋子都放置在不同的坐标处。

请找出若干次操作后，\(\sum_{i=1}^N X_i\) 的最小值。

\(4\le N\le 2\times 10^5,0\le X_1<X_2<\cdots<X_N\le 10^{12}\)

题解

和 P7962 坐一桌。

都是操作等价于交换差分。

然后奇偶位置的差分分别排序即可。

\(\bf{record}\)

C (Balls and Boxes)

题意

有 \(N\) 个箱子，对应编号 \(i = 1, 2, \ldots, N\)。每个箱子中，编号为 \(i\) 的箱子包含 \(A_i\) 个红球和 \(B_i\) 个蓝球。

另外，给定两个排列 \(P = (P_1, P_2, \ldots, P_N)\) 和 \(Q = (Q_1, Q_2, \ldots, Q_N)\)，它们都是数列 \((1, 2, \ldots, N)\) 的不同排列组合。

高桥君可以任意次（包括零次）执行以下操作：

1. 选择一个箱子 \(i\)，满足 \(1 \leq i \leq N\)，将其中所有的球拿出来。
2. 把手中所有的红球放入第 \(P_i\) 个箱子。
3. 把手中所有的蓝球放入第 \(Q_i\) 个箱子。

高桥君的目标是使得在第 \(X\) 个箱子以外的所有箱子中都没有球。请判断能否通过上述操作实现这个目标，如果可以，请给出实现这个目标所需的最小操作次数；如果不可能，则输出 -1。

\(N\le 2\times 10^5\)

题解

把两个排列的环单独拎出来，如果除了 \(x\) 的环还有其他球，就无解。

否则 \(x\) 一定不会往外送，把环从 \(x\) 这里断开，去掉尾巴一部分没有球的，等价于 LCS。

\(\mathcal{O}(N\log N)\) 求解即可。

\(\bf{record}\)

D (Takahashi is Slime)

题意

有 \(N\) 个史莱姆排成一列，从左到右依次编号为 \(1, 2, \ldots, N\)。第 \(i\) 个史莱姆的大小为 \(A_i\)。
对于每一个位置 \(K = 1, 2, \ldots, N\)，解决下面的问题：

初始时，第 \(K\) 个史莱姆是高桥君。高桥君可以执行任意多次（可以是 \(0\) 次）的操作。请计算高桥君在操作后能达到的最大大小。

• 高桥君可以吸收一个相邻且大小小于他的史莱姆。吸收后，该史莱姆消失，高桥君的大小增加该史莱姆的大小。

在这个过程中，被吸收的史莱姆消失后空出的位置会立即由两侧的史莱姆填补，这使得两端的史莱姆重新相邻。

\(2\le N\le 5\times 10^5,A_i\in [1,10^9]\)

题解

首先每次扩展大小翻倍，容易想到 \(\mathcal{O}(n\log n\log V)\) 暴力，事实上足以通过。

但是我们注意到：设 \(A_i\) 扩张区间为 \(S_i=[L_i,R_i]\)，则 \(S_i\) 恰好等于 \(\mathop{\bigcup}\limits_{j\in S_i} S_j\)。

初始 \(L_i=R_i=i\)，每次暴力扩张一个位置的左右，并起来。然后如果经过重复位置直接退出。

这样是高贵的线性！正确性由注意到部分保证。

\(\bf{record}\)

E (Straight Path)

题意

在一个有 \(N\) 个顶点的完全图 \(G\) 的每条边上标上正整数编号，若满足以下条件，则称该完全图为“良好完全图”：

• 对于所有恰好经过 \(N\) 个顶点各一次的路径，不存在一条路径使得其经过的边的编号按经过顺序排列后形成的数列是广义单调递增的。

请判断是否存在“良好完全图”。如果存在，请构造一个使“边上编号的最大值”最小的方案，并输出。

\(2\le N\le 20\)

题解

事实上 \(N\le 20\) 是为了判定。

特判 \(N\le 3\) 必定无解。

考察 \(4\) 的结构，发现 \(\color{red}{(1,2),(3,4)}\) 连 \(1\)，\(\color{blue}{(1,3),(2,4)}\) 连 \(2\)，\(\color{green}{(1,4),(2,3)}\) 连 \(3\)。

此时答案为 \(3\)。

稍微打表或者观察推性质容易发现 \(N\ge 4\) 答案不能是 \(2\)。

于是把点尽量平均分成四类，同类连 \(3\) 的边，不同类按照 \(4\) 的情况连表。

• 发现只有 \(N=5\) 一个瑕点，是样例，特判掉即可。

\(\bf{record}\)