线代常见变换杂记（还没更新）

注：下面几乎所有东西时间复杂度均为 \(O(n^3)\)，在 \(\bmod 2\) 意义下（\(\text{xor}\) 意义下）复杂度能 \(/w\)。

不建议零基础看，姑且当做总结吧。

定义 \(A^T\) 表示 \(A\) 的转置矩阵，其他关于上三角/下三角矩阵/下双对角矩阵等定义请意会或自行查看。

线性基

模板题：P3812

建立线性基本质上也是在做高斯消元，特别是 \(k\) 进制线性基。因为高斯消元能把若干向量组成的矩阵，消成一些线性无关的上三角和若干全 \(0\) 向量。

高斯消元

最经典的消成上三角矩阵的一个变换。

模板题：P3389。

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高斯消元优化状态：有时候高斯消元中， 元 \(\{x_i\}\) 的数目太多了，直接 \(n^3\) 会超时。

此时我们如果能把每个元都变成 \(m\) 个元 \(\{y_i\}\) 的线性组合，此时重新建立关于这 \(m\) 个元的线性方程，高消，复杂度就是 \(O(m^3)\)，再解出这 \(n\) 个元即可。

矩阵乘法/矩阵快速幂

模板题：P3390。

矩阵乘法没有交换律，只有结合律。所以，矩阵（关于乘法的）群是半群。

矩阵求逆

模板题：P4783

考虑类似高消的，把一行 \(\times k\) 加到另一行的过程和其他（比如直接一行 \(\times k\)），看做不断乘初等行变换矩阵。

我们假设最终通过 \(A\times E_1\times E_2\times \cdots E_{k}\to E\)，把 \(A\) 变成了单位矩阵。

那么 \(A^{-1}=E_1\times E_2\times \cdots E_{k}\)，在对 \(A\) 消元的时候，直接对单位矩阵做同样的初等行变换就是 \(A\) 的逆矩阵了。

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注：矩阵可逆当且仅当 \(\det\) 非 \(0\)，并且 \(\det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=1\Rightarrow \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}\)。

行列式求值

模板题：P7112

行列式 \(\det A=\sum\limits_{p} (-1)^{\tau(p)} \prod\limits_{i=1}^n A_{i,p_i}\)，其中 \(p\) 是任意 \(1\sim n\) 排列，\(\tau(p)\) 定义为排列的逆序对数。

一些线性代数性质：\(\det A^T=\det A,\det(AB)=\det A\det B\)。

我们有三件事：

• 把矩阵一行乘 \(k\) 倍加到令一行，则无论如何行列式值不变。

• 交换矩阵的两行，行列式值取反，即 \(\times (-1)\)。

• 上三角矩阵的行列式为 \(\prod\limits_{i=1}^n A_{i,i}\)，即对角线所有数乘积。

于是直接消元消成上三角矩阵即可，记录一下乘了几个 \(-1\)。

特征多项式

从这里往下开始难了！

模板：P7776

对称矩阵合同对角化

例题

定义矩阵 \(A\) 的合同变换为：\(A\to P^TAP\)