另一则证明

考虑 \(\bmod x^p-1\) 下。

对于 \(U=\sum\limits_{i=0}^{p-1}x^i\)，我们依据单位根反演有 \(\operatorname{DFT}(U)_i=[i=0]p\)。

对于 \(V=\sum\limits_{i=0}^{p-1}\left(\frac ip\right)x^i\)，我们有 \(\operatorname{DFT}(V)_n=\sum\limits_i w_p^{ni}\left(\frac ip\right)=G(n)\)。

我们知道 DFT 是可以唯一确定一个多项式，乘法是循环卷积。

所以 \(U^2\) 是容易的，其 DFT 为 \([i=0]p^2\)，看上去就 \(pU\)。

考虑 \(UV\)。我们会有 \(G(k)=\left(\frac kp\right)G(1)\)，特别地，\(G(0)=0\)。

因此 \(U,V\) 两者的 DFT 正交。所以 \(UV=0\)。

考虑 \(V^2\)。我们会有 \(G(k)^2=G(1)^2\)，因为勒让德符号是 \(-1\) 或 \(1\)。但是 \(0\) 除外。

那么变成了 \(G(1)^2(1-[i=0])\)，看上去就是常数和 \(U\) 的组合。

注意上面这些东西都没有 \(\bmod p\)，需要的话把 IDFT 完的答案 \(\bmod p\) 一下即可。

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求 \(G(1)\) 直接套用高斯和结论即可。

\[G(1) =\begin{cases} \sqrt{n}\quad (n \equiv 1 \pmod{4})\\ i\sqrt{n}\quad(n \equiv 3 \pmod{4})\end{cases}\]